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|1=zh-hans:质数螺旋;zh-hk:烏嵐螺旋;zh-tw:烏拉螺旋;
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{{unsolved|數學|每個大於一的完全平方數和[[矩形數]]之間是否至少有一個質數？}}

'''奥珀曼猜想'''是數學上關於[[質數]]分布的一個懸而未決的問題。<ref name="wells">{{citation|title=Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math|first=David|last=Wells|publisher=John Wiley & Sons|year=2011|isbn=9781118045718|page=164}}.</ref>該猜想與[[勒讓德猜想]]、[[安德里卡猜想]]以及[[布羅卡猜想]]等密切相關但較強。該猜想以丹麥數學家{{link-en|卢兹维·奥珀曼|Ludvig Oppermann}}的名字命名，因為他在1877年3月在一篇未出版的講稿中提及此猜想。<ref>{{Citation |first=L. |last=Oppermann |title=Om vor Kundskab om Primtallenes Mængde mellem givne Grændser |journal=Oversigt over Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger og Dets Medlemmers Arbejder |year=1882 |pages=169–179 |url=https://books.google.com/books?id=UQgXAAAAYAAJ&pg=PA169 |accessdate=2024-01-08 |archive-date=2023-01-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230121043525/https://books.google.com/books?id=UQgXAAAAYAAJ&pg=PA169 |dead-url=no }}</ref>

==陳述==
該猜想指稱，對於任意的{{mvar|x>1}}而言，至少有一個質數存在於{{mvar|x(x-1)}}和{{mvar|x^2}}之間，且至少有一個質數存在於{{mvar|x^2}}和{{mvar|x(x+1)}}之間。

該猜想也可等價地表述為「[[素數計數函數]]對這些區間的端點必須取不等號」，<ref>{{citation|title=The Little Book of Bigger Primes|first=Paulo|last=Ribenboim|publisher=Springer|year=2004|isbn=9780387201696|page=183|url=https://books.google.com/books?id=pBJDA89eOGQC&pg=PA1}}.</ref>也就是說，對於任意的{{mvar|x>1}}而言有：
: {{mvar|π(x^2-x) < π(x^2) < π(x^2+x)}}
其中{{mvar|π(x)}}指的是小於等於{{mvar|x}}的質數個數。

這兩個區間的端點是介於兩個[[矩形數]]之間的[[完全平方數]]，其中的兩個矩形數是一對[[三角形數]]的兩倍。兩個三角形數的和是完全平方數。

==後果==
若該猜想為真，那麼[[質數間隙]]的大小如下：

:<math> g_n < \sqrt{p_n}\, </math>

而這也表示在{{mvar|x^2}}和{{mvar|(x+1)^2}}之間至少有兩個質數，其中之一在{{mvar|x^2}}和{{mvar|x(x+1)}}之間，另一個在{{mvar|x(x+1)}}和{{mvar|(x+1)^2}}之間，而這比[[勒讓德猜想]]的此區間中至少有一個質數來得強；類似地，由於任意兩個奇質數間至少有一個非質數的事實之故，因此從該猜想也可導出[[布羅卡猜想]]，而布羅卡猜想指的是兩個奇質數的平方之間，至少有四個質數；<ref name="wells"/>不僅如此，該猜想也意味著如[[安德里卡猜想]]所言的一般，兩個相鄰質數的[[質數間隙|最大間隙]]，至多只能這些數的平方根的兩倍成正比。

該猜想也意味著在[[质数螺旋]]的每四分之一個旋轉上，都至少有一個質數。

==現狀==
即使對小的{{mvar|x}}而言，此猜想範圍內的質數數量都遠超過一，這為此猜想提供了強力的證據；然而{{as of|2024|lc=y|post=.}}為止，該猜想都尚未得到證明。<ref name="wells"/>近期的一篇論文則驗證說[[勒讓德猜想]]和奥珀曼猜想對大到<math>n=7\cdot 10^{13}</math>的數都成立。<ref>{{cite journal |last1=Sorenson |first1=Jonathan |last2=Webster |first2=Jonathan |title=An algorithm and computation to verify Legendre’s conjecture up to <math>n=7\cdot 10^{13}</math> |journal=Research in Number Theory |date=2025-03 |volume=11 |issue=1 |doi=10.1007/s40993-024-00589-4}}</ref>

==參見==
{{Portal|數學}}
* [[伯特蘭-切比雪夫定理]]
* [[菲鲁兹巴赫特猜想]]
* [[質數]]

==參考資料==
{{Reflist}}
{{質數猜想}}
[[Category:素數猜想]]
[[Category:數論未解决問題]]