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在[[算子理论]]这一[[数学]]领域中，'''奈马克扩张定理'''将[[正算子值测度]]与另一空间上的[[自伴算子]]的[[谱测度]]关联了起来。此定理冠名于苏联数学家{{Le|马克·奈马克|Mark Naimark}}。它可看作是[[斯坦斯普林扩张定理]]的推论。

== 一些先导概念 ==
设 <math>X</math> 是一个[[紧空间|紧]][[豪斯多夫空间]]， <math>H</math> 是一个[[希尔伯特空间]]， <math>\mathcal B(H)</math> 是 <math>H</math> 上[[有界算子]]所构成的[[巴拿赫空间]]。对于 <math>X</math> 上的[[博雷爾集|博雷尔 σ-代数]] <math>\Sigma(X)</math> 到 <math>\mathcal B(H)</math> 的映射 <math>E</math> ，若它是'''[[弱可数可加]]'''的，也就是说若对于任何[[不相交]]的博雷尔集序列 <math>\{ B_i \}</math> 有
<math display="block">
\forall x,y\in H,\quad \langle E (\cup _i B_i) x, y \rangle = \sum_i \langle E (B_i) x, y \rangle, 
</math>
则称其为是一个'''算子值测度'''。关于此类测度性质的一些术语是：

* <math>E</math> 称为是正则的，若标量值测度 <math>
B \mapsto \langle E (B) x, y \rangle 
</math> 是一[[正则测度|正则]]的博雷尔测度。这意味着所有紧集都有有限的[[总变差]]，并且集合的测度可由开集的测度来逼近。

* <math>E</math> 称为是有界算子值测度，若 <math>|E| = \sup_B \|E(B) \| < \infty</math> 。
* <math>E</math> 称为是正算子值测度，若对于任意 <math>B</math> 而言 <math>E(B)</math> 都是[[正算子]]。
* <math>E</math> 称为是自伴算子值测度，如果任意 <math>B</math> 而言 <math>E(B)</math> 都是自伴算子。
* <math>E</math> 称为是谱测度，如果 <math>E</math> 是自伴的，且<math>E (B_1 \cap B_2) = E(B_1) E(B_2)</math> 对任意 <math> B_1, B_2 </math> 成立。

下面将始终假设 <math>E</math> 是正则的。

令 <math>\mathcal C(X)</math> 表示 <math>X</math> 上连续函数所构成的[[交換代數|交换]][[C*-代数]]。如果 <math>E</math> 正则且有界，则它可导出一个映射 <math>\Phi_E : \mathcal C(X)\to\mathcal B(H)</math> 如下：
<math display="block">\langle \Phi _E (f) h_1, h_2 \rangle = \int _X f(x) \langle E(dx) h_1, h_2 \rangle.</math>
反过来也可以从一个有界线性映射确定出一个有界、正则的有界算子值测度，它们有一一对应关系。

<math>E</math> 的有界性意味着，对于所有[[范数]]为一的 <math>h\in H</math> ，有
<math display="block">
\langle \Phi _E (f) h, h \rangle = \int _X f(x) \langle E(dx) h, h \rangle \leq \| f \|_\infty \cdot |E| .
</math>

由此可见对于任意 <math>f</math> 给出的 <math>\Phi _E (f)</math> 都是有界算子，且 <math>\Phi _E</math> 本身也是一个有界线性映射。

<math>\Phi_E</math> 的性质与 <math>E</math> 的性质直接相关：

* 若 <math>E</math> 是正的，则 <math>\Phi_E</math> 作为C*-代数之间的映射而言也是[[正映射 (C*-代数)|正]]的。
* 根据定义， <math>\Phi_E</math> 成为一个[[环同态|同态]]的条件是：对于任意的 <math>X</math> 上连续函数 <math>f</math> 以及 <math>h_1, h_2 \in H</math> ，

<math display="block">
\langle \Phi_E (fg) h_1, h_2 \rangle = \int _X f(x) \cdot g(x) \; \langle E(dx) h_1, h_2 \rangle 
= \langle \Phi_E (f) \Phi_E (g) h_1, h_2 \rangle.
</math>

取 <math>f,g</math> 为博雷尔集的[[指示函数]]，可发现上述条件要求 <math>E</math> 是一个谱测度。

* 类似地， <math>\Phi_E</math> 与*运算相容是指
<math display="block">
\langle \Phi_E ( {\bar f} ) h_1, h_2 \rangle = \langle \Phi_E (f) ^* h_1, h_2 \rangle.
</math>

等号左端是
<math display="block">
\int _X {\bar f} \; \langle E(dx) h_1, h_2 \rangle,
</math>

而右端是
<math display="block">
\langle h_1, \Phi_E (f) h_2 \rangle = \overline{\langle \Phi_E(f) h_2, h_1 \rangle} = \int _X {\bar f}(x) \; \overline{\langle E(dx) h_2, h_1 \rangle} = \int _X {\bar f}(x) \; \langle h_1, E(dx) h_2 \rangle.
</math>

于是，通过在一个单增收敛于 <math>B</math> 的指示函数的连续函数序列中取 <math>f</math> ，可得 <math>\langle E(B) h_1, h_2 \rangle = \langle h_1, E(B) h_2 \rangle</math> ，即 <math>E(B)</math> 是自伴的。

* 结合前两个事实可以得出以下结论：当且仅当 <math>E</math> 是自伴的且谱的 （这样的 <math>E</math> 被称为[[投影值测度]]）， <math>\Phi _E</math> 才成为[[*-同态]]。

== 奈马克扩张定理 ==
{{Math theorem
| math_statement = 设算子值测度 <math> E:\Sigma(X)\to\mathcal B(H)  </math> 是正的。则存在一个希尔伯特空间 <math> K  </math> 、一个有界算子 <math>V: K \rightarrow H</math> 以及一个自伴且谱的算子值测度 <math> F:\Sigma(X)\to\mathcal{B}(K)  </math> 满足 
<math display="block">\forall B\in\Sigma(X), \quad E(B) = V F(B) V^*.</math>
}}

=== 证明概要 ===
证明主要是从 <math>E</math> 转向其诱导的 <math>\Phi_E</math> ，然后应用[[斯坦斯普林扩张定理]]。

由于 <math>E</math> 是正算子值测度，故如前所述 <math>\Phi_E</math> 是C*-代数间的正映射。进一步地，由于 <math>\mathcal C(X)</math> 是交换C*-代数，可知 <math>\Phi_E</math> 是[[完全正映射]]。至此已满足应用斯坦斯普林扩张定理的条件，从而可知存在一个希尔伯特空间 <math>K</math> 、一个*-同态 <math>\pi : \mathcal C(X) \to \mathcal B(K)</math> 和算子 <math>V: K \to H</math> 使得 <math>\Phi_E(f) = V\,\pi (f) \,V^*</math> 。
由于 <math>\pi</math> 是*-同态，其对应的算子值测度 <math>F</math> 是自伴谱测度——容易看出 <math>F</math> 满足所需的性质。

== 有限维情况 ==
在有限维情况下，有一个更明确的表述。

现在设 <math>X = \{1, \dotsc, n \}</math> ，因此 <math>C(X)</math> 是有限维[[域上的代数|代数]] <math>\mathbb{C}^n</math> ，并且 <math>H</math> 的维度为有限的 <math>m</math> 。正算子值测度 <math>E</math> 则将每个 <math>i\in X</math> 映射为一个 <math>m\times m</math> 阶的[[半正定矩阵]] <math>E_i</math> 。奈马克扩张定理这时所说明的就是， <math>X</math> 上存在一个投影值测度，其[[限制 (數學)|限制]]为 <math>E</math> {{Explain|reason=谁的限制？|date=2024年5月}}。

特别有趣的是 <math>\sum_i E_i = I</math> 的情况，其中 <math>I</math> 是[[恆等函數|恒等算子]] （相关应用参见[[正算子值测度]]。）在这种情况下，诱导出的映射 <math>\Phi_E</math> 是[[保单位元]]的。可以不失一般性地假设每个 <math>E_i</math> 具有形式 <math>x_ix_i^*</math> ，即向量 <math>x_i \in \mathbb{C}^m</math> 的[[外积 (张量积)|外积]]（且 <math>x_i</math> 将是次归一化{{Definition needed|定义subnormalized|date=2024年5月}}的）。在这样的假设下， <math>n < m</math> 的情况将不可能，

# 要么 <math>n = m</math> ，而 <math>E</math> 本身就是一个投影值测度（因为 <math>\sum_{i=1}^n x_i x_i^* = I</math> 当且仅当 <math>\{x_i\}</math> 是一组[[规范正交基]]），
# 要么 <math>n > m</math> ，而 <math>\{ E_i \}</math> 并非是由相互正交的投影构成。

对于第二种情况，寻找合适的投影值测度的问题将转化为以下问题。根据假设，非方矩阵
<math display="block"> M = \begin{bmatrix} x_1 \cdots x_n \end{bmatrix}</math>

是[[余等距映射|余等距]]的，也就是说满足 <math>M M^* = I</math> 。若能找到 <math>(n-m) \times n</math> 阶矩阵 <math>N</math> 使得
<math display="block">U = \begin{bmatrix} M \\ N \end{bmatrix}</math>
是一个 <math>n \times n</math> 阶[[幺正矩阵]]，那么到 <math>U</math> 的各个列向量上的[[投影 (线性代数)|投影]]的所构成的投影值测度就具有所需的性质。原则上，总能找到这样的 <math>N</math> 。

== 参考资料 ==

* {{Cite book|title=Completely Bounded Maps and Operator Algebras|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|url=https://www.cambridge.org/core/books/completely-bounded-maps-and-operator-algebras/47AF05B5F924ADE4FA30770B10050B76|publisher=Cambridge University Press|date=2003|location=Cambridge|isbn=978-0-521-81669-4|doi=10.1017/cbo9780511546631|first=Vern|last=Paulsen|access-date=2024-05-06|archive-date=2023-05-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20230522125925/http://www.cambridge.org/core/books/completely-bounded-maps-and-operator-algebras/47AF05B5F924ADE4FA30770B10050B76|dead-url=no}}

{{泛函分析}}

[[Category:泛函分析定理]]
[[Category:测度论定理]]
[[Category:算子理论]]