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[[数学]]中，'''代数括号'''（{{lang|en|algebraic bracket}}）或'''奈恩黑斯–理查德森括号'''（{{lang|en|Nijenhuis–Richardson bracket}}）是一个[[向量空间]]到自身的[[外代数|交替多重线性形式]]上的一个[[分次李代数]]结构。这是由 [[阿尔伯特·奈恩黑斯|A. Nijenhuis]] 与 [[R. W. Richardson, Jr]] 在(1966, 1967) 二文中引入的，它与 [[弗勒利歇尔-奈恩黑斯括号]]和[[斯豪滕-奈恩黑斯括号]]有关，但不一样。

== 定义 ==
引入此括号最初动机是为讨论一个向量空间上所有可能的[[李代数]]结构以及随后的这些结构的[[形变理论|形变]]发展一个统一的框架。如果 ''V'' 是一个向量空间，''p'' ≥ -1 是一个正数，令 
:<math>Alt^p(V) = (\wedge^{p+1} V^*)\otimes V</math>
为从 ''V'' 到自己的所有斜对称 (''p''+1)-重线性映射。直和 Alt(''V'') 是一个[[分次向量空间]]。''V'' 上一个'''李代数'''结构由一个斜对称双线性映射 μ : ''V'' × ''V'' → ''V'' 确定。即 μ 是 Alt<sup>1</sup>(V) 的一个元素。另外 μ 需服从[[雅可比恒等式]]。Nijenhuis–Richardson 括号给出了将这个恒等式表示为 [μ,μ]=0 的一个系统性方式。

具体地，这个括号是定义在 Alt(''V'') 上的如下双线性运算。在齐次元素 ''P'' ∈ Alt<sup>p</sup>(''V'') 与 ''Q'' ∈ Alt<sup>q</sup>(''V'') 上，奈恩黑斯–理查德森括号 [''P'',''Q'']<sup>∧</sup> ∈ Alt<sup>p+q</sup>(V) 由
:<math>[P,Q]^\land = i_P Q - (-1)^{pq}i_Q P\, </math>
给出，这里[[内乘]] ''i''<sub>''P''</sub> 定义为
:<math>(i_P Q)(X_0,X_1,\ldots,X_{p+q}) = \sum_{\sigma\in Sh_{p,q}}\mathrm{sgn}(\sigma) P(Q(X_0,X_1,\ldots,X_q),X_{q+1},\ldots,X_{q+p})</math>
其中求和取遍指标的所有 [[(p,q) 顺序]]。在非齐次元素上，双线性扩张括号。

== 形式环的导子 ==

奈恩黑斯–理查德森括号可以类似地定义在光滑流形 ''M'' 上的[[向量值形式]] Ω<sup>*</sup>(''M'', ''T''(''M'')) 上。向量值形式 ''K'' 通过取  ''i<sub>K</sub>'' 作为[[导子]]作用在 ''M'' 上的形式的超交换环 Ω<sup>*</sup>(''M'') 上，奈恩黑斯–理查德森括号对应于这两个导子的[[交换子]]。这样将 Ω<sup>*</sup>(''M'', ''T''(''M'')) 等同于作用在光滑函数为为零的导子之代数。不是所有导子都是这种形式；这个导子的环结构请参见[[弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号]]一文。

斯豪滕–奈恩黑斯括号与弗勒利歇尔－奈恩黑斯括号都使 Ω<sup>*</sup>(''M'', ''T''(''M'')) 成为一个分次超代数，但有不同的分次。

== 参考文献 ==
*Pierre Lecomte, Peter W. Michor, Hubert Schicketanz, ''The multigraded Nijenhuis–Richardson algebra, its universal property and application''  J. Pure Appl. Algebra, 77  (1992)  87–102
*{{springer|id=F/f120230|author=P. W. Michor|title=Frölicher–Nijenhuis bracket}}
*P. W. Michor, H. Schicketanz, [http://arxiv.org/math.DG/9201255 ''A cohomology for vector valued differential forms'']{{Dead link|date=2019年10月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} Ann. Global Anal. Geom. 7 (1989), 163–169
*A. Nijenhuis, R. Richardson, ''Cohomology and deformations in graded Lie algebras'' Bull. Amer. Math. Soc. , 72 (1966) pp. 1–29
*A. Nijenhuis, R. Richardson, ''Deformation of Lie algebra structures'', J. Math. Mech. 17 (1967), 89–105.

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[[Category:李代数]]
[[Category:双线性算子]]