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在[[代數幾何]]學中，'''奇點解消'''問題探討[[代數簇]]是否有非奇異的模型（即：與之[[雙有理等價]]的非奇異代數簇）。在[[特徵 (代數)|特徵]]為零的域上，[[廣中平祐]]已給出肯定答案，至於正特徵的域，四維以上的情形至今（2007年）未解。

==定義==
對於一個[[体 (数学)|域]] <math>k</math> 上的[[代數簇]] <math>X</math>，若能找到一個完備非奇異代數簇與之[[雙有理等價]]（換言之：有相同的[[函數域]]），則稱 <math>X</math> 有'''弱奇點解消'''。在實踐上常會要求更容易運用的條件：若存在非奇異代數簇 <math>X'</math> 及真雙有理態射 <math>X' \to X</math>，使之在 <math>X</math> 的奇點集 <math>\mathrm{Sing}(X)</math> 之外為同構，則稱 <math>X</math> 有'''奇點解消'''。[[真態射]]的條件意在排除平凡解，例如 <math>X' = X \setminus \mathrm{Sing}(X) \hookrightarrow X</math>。

一般而言，設 <math>X \hookrightarrow W</math>，其中 <math>W</math> 是非奇異代數簇，此時一個實用的概念是 <math>X</math> 在 <math>W</math> 中的'''強奇點解消'''：這是一個真雙有理態射 <math>f: W' \to W</math>，滿足下述條件：
# <math>W' \to W</math> 由一系列對非奇異閉子簇的[[拉開]]合成，每一步取的閉子簇都橫截已拉開的例外除數。
# <math>X</math> 的嚴格變換 <math>X'</math> 是非奇異的，並與橫截[[拉開]]的例外除數；於是限制態射 <math>X' \to X</math> 是 <math>X</math> 的奇點解消。
# <math>W'</math> 的構造對[[平滑態射]]具函子性。
# 態射 <math>X' \to X</math> 與 <math>X</math> 在 <math>W</math> 中的嵌入方式無關。

廣中平祐證明了：當域 <math>k</math> 的特徵為零，則存在滿足前兩個條件的強奇點解消。他的建構後經多位數學家改進，以滿足全部四個條件。

==簡史==
[[代數曲線]]的奇點解消較容易，在19世紀已廣為人知。證明方法不一：最常見的兩種是相繼[[拉開]]奇點，或取曲線的[[正規概形|正規化]]。正規化消解的是所有餘維度為一的奇點，因此僅適用於曲線。

複[[代數曲面]]的奇點解消先後由 Beppo Levi（1899年）、O. Chisini（1921年）與 G. Albanese（1924年）給出非正式的說明。第一個嚴謹證明由 Robert J. Walker 於1935年給出。對所有零特徵[[体 (数学)|域]]均成立的代數證明由[[扎裡斯基]]於1939年給出。S. S. Abhyankar 證明正特徵域上的情形（1956年）。所有二維[[優環|優概形]]（包括所有算術曲面）的奇點解消由 Lipman 在1978年證出。

消解曲面奇點的通常辦法是不斷將曲面正規化（以消去餘維為一的奇點）並[[拉開]]奇點（以改善餘維為二的奇點，但是可能會增加新的餘維一的奇點）。

對於三維情形，零特徵域上首先由[[扎裡斯基]]證明（1944年）；域特徵超過 5 的情形由 S. S. Abhyankar 於1966年證明。

零特徵域上任意維度的奇點消解首先由[[廣中平祐]]於1964年證出。他證明可以藉著相繼對非奇異閉子流形作拉開以消去奇點，其證明中對維度作了相當複雜的[[數學歸納法]]。簡化版的證明之後由許多數學家給出，包括 Bierstone 與 Milman（1997年），Encinas 與 Villamayor（1998年），Encinas 與 Hauser（ 2002年）、Cutkosky（2004年），Wlodarczyk（2005年）及 Kollar（2007年）。某些晚近證明的長度還不及廣中平祐證明的十分之一，並簡單到可以在研究所導論課程中給出。關於該定理的介紹，詳閱文獻中 Hauser 的著作（2003），歷史討論請見 Hauser（2000）。

A. J. de Jong 在1996年提出奇點解消的另種進路，這套進路被 Bogomolov 與 Pantev（1996年）及 Abramovich 與 de Jong（1997年）用於證明零特徵域上的奇點解消。De Jong 的方法對正特徵域上的代數簇給出較弱的結果，然而已足以替代奇點解消的許多角色。

De Jong 證明對任意域上的代數簇 <math>X</math>，存在滿的[[真態射]] <math>X' \to X</math>，使得 <math>\dim X' = \dim X</math> 且 <math>X'</math> 非奇異。這不一定是雙有理等價，<math>X'</math> 的[[函數域]]可能是[[代數擴張|有限擴張]]，故非奇點解消。De Jong 的想法是嘗試將 <math>X</math> 表為一個較小空間 <math>Y</math> 上的纖維化映射，使得纖維均為曲線（為此可能需要修改 <math>X</math>），然後藉著對維度作數學歸納法消去 <math>Y</math> 的奇點，最後消去纖維上的奇點。

==概形的情形==
奇點解消的定義容易推廣到所有概形。並非所有概形都有奇點解消：[[格羅滕迪克]]（1965, '''EGA IV  7.9'''）證明了如果在一個局部諾特概形 <math>X</math> 上有限的所有整概形都有奇點解消，則 <math>X</math> 必然是[[優環|擬優概形]]。格羅滕迪克猜測其逆為真，換言之：如果一個局部諾特概形 <math>X</math> 是擬優且既約的，則可以消解奇點。當 <math>X</math> 定義於一個零特徵的[[体 (数学)|域]]上時，此陳述能由廣中平祐的定理導出；一般情形則化約到整完備[[局部環]]的奇點解消問題。

==外部連結==
* 一些奇點及其解消之[http://www.mathematik.uni-kl.de/~anne/Aufl-Bilder/Hauptseite.html 圖片]{{Wayback|url=http://www.mathematik.uni-kl.de/~anne/Aufl-Bilder/Hauptseite.html |date=20070610035258 }}
* [http://www.singular.uni-kl.de/Manual/3-0-2/index.htm#SEC_Top SINGULAR]{{Wayback|url=http://www.singular.uni-kl.de/Manual/3-0-2/index.htm#SEC_Top |date=20070609093537 }}: 一套能處理奇點解消的軟件
* 2006年6月的暑期學校 ''Resolution of Singularities'' (Trieste, Italy) 的[https://web.archive.org/web/20070204163127/http://cdsagenda5.ictp.trieste.it/full_display.php?smr=0&ida=a05209 講義]
*[http://www.risc.uni-linz.ac.at/projects/basic/adjoints/blowup/index.html desing]{{Wayback|url=http://www.risc.uni-linz.ac.at/projects/basic/adjoints/blowup/index.html |date=20070927202830 }} 另一套處理奇點解消的軟件

==文獻==
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