查看“︁奇異數 (數論)”︁的源代码

{{pp-vandalism|expiry=2026-12-03T23:18:27+00:00|small=yes}}
{{Expand language|en}}
{{NoteTA|G1=Math}}
在數論中，'''奇異數'''（或稱'''奇怪數'''）是指不是[[半完全數]]的[[豐數]]，<ref>
{{cite journal
  | last =Benkoski
  | first =Stan
  | authorlink =
  | coauthors =
  | title =E2308（in Problems and Solutions）
  | journal =The American Mathematical Monthly
  | volume =79
  | issue =7
  | pages =774
  | date =Aug.-September 1972
  | doi =10.2307/2316276
}}
</ref>
也就是說此[[自然數]]之所有[[真因數]]（即小於此自然數之正因數）之和比此數自身大（豐數的定義），但其真因數不論如何組合，其和都不等於此自然數（因此不是半完全數）。

許多的豐數都是半完全數，如12的真因數有[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[6]]，總和為[[16]]>[[12]]，因此為一豐數，但2+4+6=12，因此12也是半完全數，大多數的豐數都可以找到部份真因數，使其和等於本身。若豐數的真因數和都不等於本身，即為奇異數。
==舉例==
最小的奇異數是[[70]]，其真因數有[[1]], [[2]], [[5]], [[7]], [[10]], [[14]]及[[35]]，總和為[[74]]，其中無法找到一組[[子集]]合，使其總和為70。因此70是奇異數。

奇異數有無窮多個，最小的一些奇異數是：[[70]], [[836]], [[4030]], 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, ... {{OEIS|id=A006037}}。

==性質==
{{unsolved|數學|是否存在奇數的奇異數？}}
存在無限多個奇異數<ref>{{cite book | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I | location=Dordrecht | publisher=[[施普林格科学+商业媒体|Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 | pages=113–114}}</ref>。例如，70''p''為奇異數，針對大於等於149的質數''p''都成立。實際上，奇異數[[集合 (数学)|集合]]的[[自然密度]]為正值<ref name="benk1">
{{cite journal
  | last1=Benkoski
  | first1=Stan
  | first2=Paul | last2=Erdős
  | title =On Weird and Pseudoperfect Numbers
  | journal =Mathematics of Computation
  | volume =28
  | issue =126
  | pages =617–623
  | date=April 1974
  | doi =10.2307/2005938
  | jstor=2005938
 | zbl=0279.10005 | mr=347726
| doi-access=free
  }}
</ref>。

目前已知的奇異數均為偶數，還不確定是否存在奇數的奇異數，若其存在，其數值必大於10<sup>21</sup>。<ref>{{Cite OEIS|1=A006037|2=Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835)}} -- comments concerning odd weird numbers</ref>

Sidney Kravitz證明針對正整數''k''，''Q''是超過2<sup>''k''</sup>的質數，且
:<math>R = \frac{2^kQ-(Q+1)}{(Q+1)-2^k}</math>
也是2<sup>''k''</sup>的質數，則
:<math>n = 2^{k-1}QR</math>
是奇異數<ref>
{{cite journal
  | last=Kravitz
  | first=Sidney
  | title=A search for large weird numbers
  | journal=Journal of Recreational Mathematics
  | volume=9
  | issue=2
  | pages=82–85
  | publisher=Baywood Publishing 
  | year=1976
  | zbl=0365.10003 
}}</ref>。

Sidney Kravitz根據此公式，找到最大的奇異數
:<math>n=2^{56}\cdot(2^{61}-1)\cdot153722867280912929\ \approx\ 2\cdot10^{52}.</math>

==參照==
<references/>

==参见==
*[[豐數]]
*[[半完全數]]

{{Divisor classes navbox}}

[[Category:整数数列|Q]]