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{{NoteTA
|T = zh-tw:奇異點 (幾何); zh-hk:奇異點 (幾何); zh-cn:奇点 (几何);
|G1 = Math
}}
[[Image:Isolated-point.svg|thumb|right|<math>y^2 = x^2 (x-1)</math>在原點處等于0的[[孤立點]]属于奇點的一种]]

[[曲線]]上的'''奇點'''（{{lang-en|Singular point}}）是指曲線上參數無法[[光滑函数|光滑]]變化的部份。具体定義要視曲線的具体種類而定。

==平面上的代數曲線==
平面上的[[代數曲線]]可以定義為滿足方程''f''(''x'',&nbsp;''y'')=0的點的集合，其中''f''是[[多項式]]函數。

若''f''展開為以下的形式
:<math>f=a_0+b_0x+b_1y+c_0x^2+2c_1xy+c_2y^2+\dots\,</math>

且若原點(0,&nbsp;0)在曲線上，則''a''<sub>0</sub>=0。若''b''<sub>1</sub>≠0，則[[隐函数定理]]可確定有一[[光滑函數]]''h''，使得在原點附近''y''=''h''(''x'')會成立。同様的，若''b''<sub>0</sub>≠0，則在原點附近曲線會接近''x''=''k''(''y'') 。上述任何一個情形下，都有一個光滑[[映射]]從'''R'''映射到原點附近曲線所在的平面，注意在原點處

:<math>b_0={\partial f\over\partial x},\,b_1={\partial f\over\partial y},</math>

因此只要任何一個''f''的[[偏導數]]不為零，曲線即為非奇異。曲線的奇點出現在二個偏導數皆為零的位置。

:<math>f(x,y)={\partial f\over\partial x}={\partial f\over\partial y}=0.</math>

===非奇異點===
假設曲線通過原點，原點附近可近似為''y''=''mx''，則''f''可以寫為如下的式子
:<math>f=(b_0+mb_1)x+(c_0+2mc_1+c_2m^2)x^2+\dots.\,</math>
若''b''<sub>0</sub>+''mb''<sub>1</sub>不為零，則''f''=0在''x''=0處有階數為1的解。若''b''<sub>0</sub>+''mb''<sub>1</sub>=0 ，則''f''=0在''x''=0處有階數為2（或更高）的解，且''y''=''mx''及''b''<sub>0</sub>x+''b''<sub>1</sub>y=0都會是曲線的[[切線]]。此時，若if ''c''<sub>0</sub>+2''mc''<sub>1</sub>+c<sub>2</sub>''m''<sup>2</sup>不為零，則曲線在和''y''=''mx''接觸處有二重点（point of double）。若''x''<sup>2</sup>, ''c''<sub>0</sub>+2''mc''<sub>1</sub>+c<sub>2</sub>''m''<sup>2</sup>的係數為零，但''x''<sup>3</sup>係數不為零，則原點是曲線的[[拐点]]。若''x''<sup>2</sup>和''x''<sup>3</sup>的係數都是零，則原點稱為曲線的波动点（point of undulation）。上述分析可以應用在曲線上的任意點，只要平移座標軸，使要分析的點變成原點即可<ref>Hilton Chapter II §1</ref>。

===二重點===
[[Image:Limacons.svg|thumb|500px|none|三個[[帕斯卡蜗线]]，左圖是沒有二重點的帕斯卡蜗线，中間的蜗线（[[心脏线]]）在原點處有一個[[尖點]]，右邊的蜗线在原點有一個[[叉点]]，也就是曲線在該位置有二條切線]]

若在上述說明中，''b''<sub>0</sub>和''b''<sub>1</sub>都是零，但至少''c''<sub>0</sub>、''c''<sub>1</sub>和''c''<sub>2</sub>中有一個不為零，則原點即為曲線的二重点。再令''y''=''mx''，則''f''可寫成
:<math>f=(c_0+2mc_1+c_2m^2)x^2+(d_0+3md_1+3m^2d_2+d_3m^3)x^3+\dots.\,</math>

二重點可以依以下方程的解來分類：
''c''<sub>0</sub>+''2mc''<sub>1</sub>+''m<sup>2</sup>c''<sub>2</sub>=0.

====叉點====
若''c''<sub>0</sub>+''2mc''<sub>1</sub>+''m<sup>2</sup>c''<sub>2</sub>=0有二個''m''的實根，也就是''c''<sub>0</sub>''c''<sub>2</sub>−''c''<sub>1</sub><sup>2</sup><0，則原點為[[叉點]]。曲線在叉點和自身相交，二條切線對應''c''<sub>0</sub>+''2mc''<sub>1</sub>+''m<sup>2</sup>c''<sub>2</sub>=0的二個解。原點為函數''f''的[[鞍點]]。

====孤立點====
若''c''<sub>0</sub>+''2mc''<sub>1</sub>+''m''<sup>2</sup>''c''<sub>2</sub>=0沒有''m''的實根，也就是''c''<sub>0</sub>''c''<sub>2</sub>−''c''<sub>1</sub><sup>2</sup>>0，則原點為[[孤立點]]。在實數平面上，原點為曲線的一個[[孤点]]，不過若當做複數曲線來考慮，''c''<sub>0</sub>+''2mc''<sub>1</sub>+''m''<sup>2</sup>''c''<sub>2</sub>=0的二部份的解之間有複數的切線相連。此情形下函數在原點處有[[极值]]。

====尖點====
若''c''<sub>0</sub>+''2mc''<sub>1</sub>+''m''<sup>2</sup>''c''<sub>2</sub>=0有一個''m''的二重根，也就是''c''<sub>0</sub>''c''<sub>2</sub>−''c''<sub>1</sub><sup>2</sup>=0，原點稱為[[尖點]]。此時曲線在原點變動方向，產生一個尖銳的圖形。曲線在原點處有單一的切線，但是可視為二條恰好重合的切線。

====進一步的分類====
''node''一詞是用來表示叉點或是孤立點，也就是不為尖點的二重點。曲線中''node''數量及尖點數量是二個曲線的不變量，在{{le|普吕克公式|Plücker formula}}中有用到。

若''c''<sub>0</sub>+''2mc''<sub>1</sub>+''m<sup>2</sup>c''<sub>2</sub>=0的一個解也是''d''<sub>0</sub>+''3md''<sub>1</sub>+''3m''<sup>2</sup>''d''<sub>2</sub>+''m''<sup>3</sup>''d''<sub>3</sub>=0的解，則曲線對應的分支在原點為[[拐點]]，此時原點稱為''flecnode''。若兩條切線都有此性質，則''c''<sub>0</sub>+''2mc''<sub>1</sub>+''m<sup>2</sup>c''<sub>2</sub>為''d''<sub>0</sub>+''3md''<sub>1</sub>+''3m''<sup>2</sup>''d''<sub>2</sub>+''m''<sup>3</sup>''d''<sub>3</sub>的因式，原點稱為''biflecnode''<ref>Hilton Chapter II §2</ref>。

===三重點===
[[Image:3 Petal rose.svg|thumb|200px|right|一個有三重點的曲線]]
若''f''中所有小於''k''次方的係數都為零，且至少有一項''k''次方的係數不為0，此曲線即有k階的多重點。一般而言曲線在原點處有''k''條切線，不過有些切線可能會是虛數<ref>Hilton Chapter II §3</ref>。

==以參數式表示的曲線==
''R''<sup>2</sup>平面中的[[參數方程|參數]]曲線定義為由'''R'''→'''R'''<sup>2</sup>函數 ''g''的像，函數''g''(''t'')&nbsp;= (''g''<sub>1</sub>(''t''),''g''<sub>2</sub>(''t''))。其中的奇點為滿足以下條件的點
: <math>{dg_1\over dt}={dg_2\over dt}=0.</math>

[[Image:cusp.svg|thumb|right|200px|尖點]]

許多曲線可以用方程式來定義，也可以用[[參數方程]]定義。代數曲線''x''<sup>3</sup>−''y''<sup>2</sup>&nbsp;= 0會有一[[尖點]]，若改用參數式''g''(''t'')&nbsp;= (''t''<sup>2</sup>,''t''<sup>3</sup>)，尖點仍然存在。

不過有時奇點的數量可能會隨定義方式而不同。例如''y''<sup>2</sup>−''x''<sup>3</sup>−''x''<sup>2</sup>&nbsp;= 0在原點有一奇點，為[[叉點]]，但若用參數式''g''(''t'')&nbsp;= (''t''<sup>2</sup>−1,''t''(''t''<sup>2</sup>−1))，因為''g''&prime;(''t'') 在任意位置都不為零，因此同一曲線的參數式中，不存在奇點。

在將曲線用[[參數方程]]表示時，參數的選擇會影響一些相關的分析。例如直線''y''&nbsp;= 0，本身不存在奇點，若用參數方程''g''(''t'')&nbsp;= (''t'',0)，也沒有奇，但若用參數方程''g''(''t'')&nbsp;= (''t''<sup>3</sup>,0)表示，在原點處就會有一個奇點。因此參數式奇點的專業用語應該稱為[[光滑映射的奇點]]（singular points of a smooth mapping）比較合適。

[[哈斯勒·惠特尼]]有一定理提到<ref>Brooker and Larden, ''Differential Germs and Catastrophes'', London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)</ref><ref>Bruce and Giblin, ''Curves and singularities'', (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)</ref>

:任意'''R'''<sup>n</sup>內的[[闭集]]都可以表示為某一光滑函數f:'''R'''<sup>n</sup>→'''R'''，其方程''f''<sup>−1</sup>(0)的解集合。

上述的定義可以延伸到用[[隱函數]]定義的曲線，定義方式為''f''<sup>−1</sup>(0)的解集合，而''f''為[[光滑函數]]，因此不一定只考慮代數簇，可以延伸到更高維度的曲線。

任何參數化的曲線可以定義為隱函數的曲線，曲線奇点的分類也會在{{le|代數簇上的奇點|singular point of an algebraic variety}}的分類中加以研究。

==奇點的種類==
以下是一些可能的奇點：
*單獨的一個點：''x''<sup>2</sup>+''y''<sup>2</sup>&nbsp;= 0，屬於[[孤立点]]
*二條線交於一點：''x''<sup>2</sup>−''y''<sup>2</sup>&nbsp;= 0，屬於[[叉点]]
*[[尖點]]：''x''<sup>3</sup>−''y''<sup>2</sup>&nbsp;= 0
*rhamphoid[[尖點]]：''x''<sup>5</sup>−''y''<sup>2</sup>&nbsp;= 0.

==參考資料==
{{reflist}}
*{{cite book |title=Plane Algebraic Curves|first=Harold|last=Hilton|publisher=Oxford|year=1920
|chapter=Chapter II: Singular Points|url=http://www.archive.org/stream/cu31924001544216#page/n37/mode/1up}}

==相關條目==
* [[奇點理論]]
* [[奇点 (数学)]]
* [[莫尔斯理论]]

[[Category:曲線]]
[[Category:代數曲線]]