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[[数学]]中，'''奇点理论'''（Singularity theory）研究的是几乎是[[流形]]而不是流形的空间。若忽略其厚度，绳子就可以作为1维流形的例子。把它揉成一团，[[射影|丢在地上]]压扁，就能形成奇异点（singularity）：[[平面 (数学)|展平]]的[[若尔当曲线|弦]]在某些地方以近似''X''的形状交叉，这就是一种[[奇点 (数学)|奇点]]——双点：[[邻域|一个点]]对应多个点的绳。也许，绳子也能在不交叉的情形下自交，就像带下划线的“<u>U</u>”，这是另一种奇异点。这种奇异点不稳定，只要轻轻一推，“U”的底部就会脱离“下划线”。

[[弗拉基米尔·阿诺德]]将奇点理论的主要目标定义为描述对象如何依赖于参数，尤其是参数发生微小变化时，属性会不会、如何突然变化。这些情形称作perestroika（{{lang-ru|{{Wikt-lang|ru|перестройка}}}}）、分岔或灾变。对变化的类型进行分类、确定引发变化的参数集特征，是一些主要的数学目标。奇点可能出现在取决于参数的矩阵到波前等多种数学对象中。<ref>{{cite web|last1=Arnold|first1=V. I.|title=Singularity Theory|url=https://www.newton.ac.uk/event/sgt|website=www.newton.ac.uk|publisher=Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences|access-date=2016-05-31|date=2000|archive-date=2024-02-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20240229200542/https://www.newton.ac.uk/event/sgt/|dead-url=no}}</ref>

==奇点的产生==
奇点理论中，奇点与奇点集的一般现象，是流形（无奇点空间）可能从多种途径获得特殊奇点这一概念的一部分。[[三维投影|投影]]是其中一种方式，三维物体投影到二维空间（如人眼）中时，视觉效果非常明显；观看雕像时，褶皱是最明显的特征之一。这类奇点包括[[焦散]]，如泳池底部的光斑。

其他会出现奇点的方式是流形结构的[[退化 (数学)|退化]]。[[对称]]的出现是考虑[[轨形]]的好理由，这是在折叠过程中获得的有“角”流形，类似于餐巾纸的折痕。

==代数几何中的奇点==
===代数曲线奇点===
[[File:Cubic with double point.svg|thumb|right|upright=0.75|有双点的曲线]]
[[File:Cusp.svg|thumb|upright=0.75|right|有[[尖点]]的曲线]]

历史上，奇点最早出现在[[代数曲线]]的研究中。

:<math>y^2 = x^2 + x^3 </math>

在(0, 0)处的双点与

:<math>y^2 = x^3\ </math>

在(0, 0)处的[[尖点]]有本质区别，从草图就能看出。[[艾萨克·牛顿]]对所有[[三次平面曲线]]进行了详细研究，这些例子就属于三次曲线的一般族。提出[[贝祖定理]]时，人们注意到在计算曲线的交点时，必须用[[重复度]]（如双点是2，尖点是3）来计数。

随后，只需定义[[代数簇的奇点]]的一般概念，即允许更高的维数。

===奇点在代数几何中的一般位置===
[[代数几何]]中的奇点原则上是最容易研究的，因为它们是[[多项式方程]]定义的，也是由[[坐标系]]定义的。可以说，奇点的“外在意义”没有问题，只是在“内部意义”上，环境空间中的坐标不能直接转换点上的[[代数簇]]。对这种奇点的深入研究最终产生了[[广中平祐]]关于[[奇点解消]]的基本定理（在[[特征 (代数)|特征]]为零的[[双有理几何]]中）。这意味着，通过“显然”的双点交叉来“消解”一段绳本身的简单过程，本质上没有误导性：代数几何的所有奇点都可作为某类非常普遍的坍缩（多重过程）来恢复。这一结果常被隐式地用于将[[仿射几何]]推广到[[射影几何]]：当[[仿射簇]]在[[射影平面]]中闭合时，它在无穷远处的超平面上会出现奇点，这完全是很典型的现象。也就是说，这种奇点可当成一种（复杂的）[[紧化]]，最终得到紧流形（即强拓扑，而非[[扎里斯基拓扑]]）。

==光滑理论与灾变（catastrophe）==
与广中平祐的研究几乎同时，[[勒内·托姆]]的[[灾变理论]]也受到了广泛关注。这是奇点理论的另一分支，以[[哈斯勒·惠特尼]]早期关于[[临界点 (数学)|临界点]]的研究为基础。粗略地说，[[光滑函数]]的临界点是[[水平集]]在几何意义上形成奇点的地方。这一理论处理的是一般可微函数，不仅仅是多项式。作为补偿，只考虑稳定现象。可以说，自然界中任何被微小变化破坏的现象都不可见，可见的是稳定的现象。惠特尼已经证明，在变量数较少的情况下，临界点的稳定结构在局部上受到很大限制。托姆在此基础上结合自己早期的工作，创立了灾变理论，以解释自然界中的不连续变化。

===阿诺德的观点===
后来[[埃里克·克里斯托弗·齐曼]]传播的基本[[灾变理论]]引起了反响，吸引了[[弗拉基米尔·阿诺德]]等人。<ref>{{harvnb|Arnold|1992}}</ref>他将'''''奇点理论'''''一词广泛用于代数几何及惠特尼、托姆等人的研究成果，在文章中明确表示不喜欢过于强调这一领域的一小部分。关于光滑奇点的基础工作被表述为奇点上[[等价关系]]的构造以及[[芽 (数学)|芽]]。从技术上讲，这涉及[[射流 (数学)|射流]]空间上[[李群]]的[[群作用]]；用不太抽象的术语研究[[泰勒级数]]随变量变化的行为，用足够多的[[导数]]确定奇点。根据阿诺德的观点，其应用将体现在[[经典力学]]的几何形式——[[辛几何]]中。

===对偶性===
奇点在数学中造成问题的一个重要原因是，由于流形结构的失效，不再允许[[庞加莱对偶性]]。[[交上同调]]的引入是个重大进步，产生于用层恢复对偶性的尝试。最初的想法产生了诸多联系与应用，例如[[同调代数]]中的[[错致层]]概念。

==其他可能含义==
上述理论与[[奇点 (数学)|数学奇点]]的概念并无直接关系，后者是指函数没有定义的点，参见[[孤立奇点]]、[[本质奇点]]、[[可去奇点]]。不过，复数域中[[微分方程]]奇点周围的[[单值性]]理论确实与几何理论有关。粗略地说，单值性理论研究[[覆叠空间|覆盖映射]]退化的方式，而奇点理论研究流形退化的方式，两者是互相关联的。

==另见==
{{div col|colwidth=22em}}
*[[切线]]
*[[扎里斯基切空间]]
*[[一般位置]]
*[[切点]]
*[[奇异解]]
*[[层化]]
*[[交同调]]
*[[混合霍奇结构]]
*[[惠特尼伞]]
*[[环函数]]
{{div col end}}

== 脚注 ==
<references/>

==参考文献==
{{refbegin}}
* {{Cite book
|title=Catastrophe Theory
|author=V.I. Arnold
|publisher=Springer-Verlag
|isbn=978-3540548119
|year=1992
|ref={{harvid|Arnold|1992}}
}}

* {{Cite book
|title=Plane Algebraic Curves
|url=https://archive.org/details/planealgebraiccu0000brie
|author=E. Brieskorn
|author2=H. Knörrer
|publisher=Birkhauser-Verlag
|year=1986
|isbn=978-3764317690
|ref={{harvid|Brieskorn|Knorrer|1996}}
}}

* {{Cite book
|title=Foundations of Mechanics, Second Edition
|author=R. Abraham and J. Marsden
|publisher=Benjamin/Cummings Publishing Company
|year=1987
}}
{{refend}}

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