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[[数学]]中，特别是[[泛函分析]]中，作用于[[希尔伯特空间]]''X''、''Y''之间的[[紧算子]]<math>T: X \rightarrow Y</math>的'''奇异值'''是自伴算子<math>T^*T</math>（<math>T^*</math>表示''T''的[[埃尔米特伴随|伴随]]）的非负[[特征值]]的平方根。

奇异值是非负[[实数]]，一般按递减顺序排列（<math>\sigma_1(T),\ \sigma_2(T),\dots</math>）。最大的奇异值<math>\sigma_1(T)</math>等于''T''的[[算子范数]]（见[[极小-极大定理]]）。

[[File:Singular value decomposition.gif|thumb|right|280px|2维实值[[错切]]矩阵''M''的[[奇异值分解]]可视化。首先，可见蓝色的[[单位圆盘]]与2个[[标准基]]向量；然后，可见''M''的作用：将圆盘扭曲为[[椭圆]]。SVD将''M''分解为3个简单变换：[[旋转矩阵|旋转]]<math>V^*</math>、沿旋转轴的[[缩放]]Σ及第二次旋转 ''U''。Σ是[[对角矩阵]]（本例中是方阵），对角线上包含''M''的奇异值，代表椭圆半轴长度<math>\sigma_1,\ \sigma_2</math>。]]

作用于欧氏空间<math>\Reals ^n</math>的''T''的奇异值有简单的几何解释：单位n球在''T''变换下的像是[[椭球]]，其半轴长度是''T''的奇异值（图中提供了<math>\R^2</math>的例子）。

奇异值是[[正规矩阵]]''A''的[[特征值]]的[[绝对值]]，由[[谱定理]]可得''A''的单位对角化：<math>A = U\Lambda U^*</math>。因此有<math>\sqrt{A^* A} = \sqrt{U \Lambda^* \Lambda U^*} = U \left| \Lambda \right| U^*</math>。

研究的希尔伯特空间算子的大多数[[赋范向量空间|范数]]都是用奇异值定义的。例如，[[樊𰋀]]-''k''-范数是前''k''个奇异值的和，迹范数是所有奇异值的和，[[沙滕范数]]是奇异值的''p''次幂之和的''p''次根。注意每种范数都只定义在一类特殊的算子上，因此奇异值有助于算子的分类。

有限维情形，[[矩阵]]总可以分解为<math>\mathbf{U\Sigma V^*}</math>，其中<math>\mathbf{U}</math>、<math>\mathbf{V^*}</math>是[[酉矩阵]]，<math>\mathbf{\Sigma}</math>是矩形[[对角矩阵]]，奇异值在对角线上。这就是[[奇异值分解]]。

== 基本性质 ==
对<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>、<math>i = 1,2, \ldots, \min \{m,n\}</math>。

应用特征值的最小-最大定理。这里<math>U: \dim(U) = i</math>是<math>\mathbb{C}^n</math>的''i''维子空间。

:<math>\begin{align}
  \sigma_i(A) &= \min_{\dim(U)=n-i+1} \max_{\underset{\| x \|_2 = 1}{x \in U}} \left\| Ax \right\|_2. \\
  \sigma_i(A) &= \max_{\dim(U)=i} \min_{\underset{\| x \|_2 = 1}{x \in U}} \left\| Ax \right\|_2.
\end{align}</math>

矩阵转置和共轭不会改变奇异值。

:<math>\sigma_i(A) = \sigma_i\left(A^\textsf{T}\right) = \sigma_i\left(A^*\right).</math>

对任意酉矩阵<math>U \in \mathbb{C}^{m \times m}, V \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>

:<math>\sigma_i(A) = \sigma_i(UAV).</math>

与特征值的关系：

:<math>\sigma_i^2(A) = \lambda_i\left(AA^*\right) = \lambda_i\left(A^*A\right).</math>

与[[迹]]的关系：

:<math>\sum_{i=1}^n \sigma_i^2=\text{tr}\ A^\ast A</math>.

若<math>A^\top A</math>满秩，则奇异值的积是<math>\sqrt{\det A^\top A}</math>。

若<math>A A^\top</math>满秩，则奇异值的积是<math>\sqrt{\det A A^\top}</math>。

若''A''满秩，则奇异值的积是<math>|\det A|</math>。

== 关于奇异值的不等式 ==
另见<ref>[[Roger Horn|R. A. Horn]] and [[Charles Royal Johnson|C. R. Johnson]]. Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1991. Chap. 3</ref>

===子矩阵的奇异值===
对<math>A \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>，
# 令''B''表示删除了某一行或某一列的''A''。则<math display="block">\sigma_{i+1}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>
# 令''B''表示删除了某一行和某一列的''A''。则<math display="block">\sigma_{i+2}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>
# 令''B''表示''A''的<math>(m-k)\times(n-l)</math>子矩阵，则<math display="block">\sigma_{i+k+l}(A) \leq \sigma_i (B) \leq \sigma_i(A)</math>

===''A'' + ''B''的奇异值===
对<math>A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}</math>
# <math display="block">\sum_{i=1}^{k} \sigma_i(A + B) \leq \sum_{i=1}^{k} (\sigma_i(A) + \sigma_i(B)), \quad k=\min \{m,n\}</math>
# <math display="block">\sigma_{i+j-1}(A + B) \leq \sigma_i(A) + \sigma_j(B). \quad i,j\in\mathbb{N},\ i + j - 1 \leq \min \{m,n\}</math>

===''AB''的奇异值===
对<math>A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>
# <math display="block">\begin{align}
  \prod_{i=n}^{i=n-k+1} \sigma_i(A) \sigma_i(B) &\leq \prod_{i=n}^{i=n-k+1} \sigma_i(AB) \\
                     \prod_{i=1}^k \sigma_i(AB) &\leq \prod_{i=1}^k \sigma_i(A) \sigma_i(B), \\
                    \sum_{i=1}^k \sigma_i^p(AB) &\leq \sum_{i=1}^k  \sigma_i^p(A) \sigma_i^p(B),
\end{align}</math>
# <math display="block">\sigma_n(A) \sigma_i(B) \leq \sigma_i (AB) \leq \sigma_1(A) \sigma_i(B) \quad i = 1, 2, \ldots, n. </math>

对<math>A, B \in \mathbb{C}^{m \times n}</math><ref>X. Zhan. Matrix Inequalities. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2002. p.28</ref>
<math display="block">2 \sigma_i(A B^*) \leq \sigma_i \left(A^* A + B^* B\right), \quad i = 1, 2, \ldots, n. </math>

===奇异值与特征值===
对<math>A \in \mathbb{C}^{n \times n}</math>.
# 见<ref>R. Bhatia. Matrix Analysis. Springer-Verlag, New York, 1997. Prop. III.5.1</ref> <math display="block">\lambda_i \left(A + A^*\right) \leq 2 \sigma_i(A), \quad i = 1, 2, \ldots, n.</math>
# 假设<math>\left|\lambda_1(A)\right| \geq \cdots \geq \left|\lambda_n(A)\right|</math>，则对<math>k = 1, 2, \ldots, n</math>：
## 外尔定理<math display="block"> \prod_{i=1}^k \left|\lambda_i(A)\right| \leq \prod_{i=1}^{k} \sigma_i(A).</math>
## 对<math>p>0</math>。<math display="block"> \sum_{i=1}^k \left|\lambda_i^p(A)\right| \leq \sum_{i=1}^{k} \sigma_i^p(A).</math>

== 历史 ==
奇异值这一概念由[[埃哈德·施密特]]（1907）提出，当时称奇异值为“特征值”。“奇异值”的名称由史密斯于1937年首次使用。1957年，Allahverdiev证明了第''n''个奇异值的如下特征：<ref>[[Israel Gohberg|I. C. Gohberg]] and [[Mark Krein|M. G. Krein]]. Introduction to the Theory of Linear Non-selfadjoint Operators. American Mathematical Society, Providence, R.I.,1969. Translated from the Russian by A. Feinstein. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 18.</ref> 
: <math>\sigma_n(T) = \inf\big\{\, \|T-L\| : L\text{的秩}<n \,\big\}.</math>

这种表述使奇异值概念可以推广到[[巴拿赫空间]]的算子。
注意还有更一般的s-数（s-number）概念，也包括盖尔范德和柯尔莫哥洛夫宽。

== 另见 ==
*[[条件数]]
*[[庞加莱分离定理]]
*[[舒尔–霍恩定理]]
*[[奇异值分解]]

==参考文献==
{{Reflist}}

[[Category:算子理论]]