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{{NoteTA
|G1 = Math
|G2 = Electronics
}}
在[[數學]]裡，'''偶函數'''（{{lang-en|Even functions}}）和'''奇函數'''（{{lang-en|Odd functions}}）是滿足著相對於[[加法逆元]]之特定[[對稱]]關係的[[函數]]。這在[[數學分析]]的許多領域中都很重要，特別是在[[冪級數]]和[[傅立葉級數]]的理論裡。其命名是因為[[冪函數]]的冪的[[奇數和偶數|奇偶性]]滿足下列條件：若<math>n</math>為一偶數，則函數<math>x^n</math>是偶函數，若<math>n</math>為一奇數，則為奇函數。

== 偶函數 ==
[[File:Function x^2.svg|right|thumb|<math>f(x)=x^2</math>，偶函數的一個例子]]
設<math>f(x)</math>為一實變數[[實數|實]]值函數，則<math>f</math>為'''偶函數'''若下列的方程對所有在''<math>f</math>''的[[定義域]]內的<math>x</math>都成立：<ref>Gelfand 2002, p. 11</ref>
:<math>f(x) = f(-x)</math>
幾何上，一個偶函數會关于''y''軸[[對稱]]，亦即其[[函數圖|圖像]]在對''y''軸為[[軸對稱|轴对称]]後不會改變。

偶函數的例子有[[絕對值|&#124;''x''&#124;]]、<math>x^2</math>、<math>x^4</math>、[[餘弦|cos]](''x'')和[[雙曲餘弦|cosh]](''x'')。

偶函數不可能是個[[雙射]][[映射]]。

== 奇函數 ==
[[File:Function-x.svg|right|thumb|<math>f(x)=x</math>，奇函數的一個例子]]
再次地，設<math>f(x)</math>為一個實變數[[實數|實]]值函數，則<math>f</math>為'''奇函數'''若下列的方程對所有在''f''的[[定義域]]內的<math>x</math>都成立：<ref>Gelfand 2002, p. 72</ref>

:<math>f(x) = -f(-x)</math> 或 <math>f(-x)=-f(x)</math>

幾何上，一個奇函數关于[[原點]]對稱，亦即其[[函數圖|圖像]]在繞原點做180度[[旋轉]]後不會改變。

奇函數的例子有<math>x</math>、[[正弦|sin]](''x'')、[[雙曲正弦|sinh]](''x'')和[[誤差函數|erf]](''x'')。

== 基本特性 ==

注意：一個函數為奇函數或偶函數不表示其為可微的，或即使為連續的。其包含在傅立葉級數、泰勒級數、導數等之性質都只在假設其存在時才被使用。

* 唯一一個同時為奇函數及偶函數的函數為其值為0的[[常數函數]](即對所有''<math>x</math>''，<math>f(x)=0</math>)。
* 通常，一個偶函數和一個奇函數的[[加法|相加]]不會是奇函數也不會是偶函數；如<math>x+x^2</math>。
* 兩個偶函數的相加為偶函數，且一個偶函數的任意常數倍亦為偶函數。（偶+偶=偶 n×偶=偶）
* 兩個奇函數的相加為奇函數，且一個奇函數的任意常數倍亦為奇函數。（奇+奇=奇 n×奇=奇）
* 兩個偶函數的[[乘法|乘積]]為一個偶函數。（偶×偶=偶）
* 兩個奇函數的乘積為一個偶函數。（奇×奇=偶）
* 一個偶函數和一個奇函數的乘積為一個奇函數。（偶×奇=奇）
* 兩個偶函數的[[除法|商]]（除數不得為0）為一個偶函數。（偶÷偶=偶）
* 兩個奇函數的商（除數不得為0）為一個偶函數。(奇÷奇=偶)
* 一個偶函數和一個奇函數的商（除數不得為0）為一個奇函數。（偶÷奇=奇 奇÷偶=奇）
* 一個偶函數的[[導數]]為一個奇函數。（偶'=奇）
* 一個奇函數的導數為一個偶函數。（奇'=偶）
* 兩個奇函數的複合為一個奇函數，而兩個偶函數的複合為一個偶函數。[奇(奇)=奇  偶(偶)=偶]
* 一個偶函數和一個奇函數的複合為一個偶函數。[偶(奇)=偶  奇(偶)=偶]

=== 級數 ===

* 一個偶函數的[[麥克勞倫級數]]只包括偶數[[冪]]。
* 一個奇函數的麥克勞倫級數只包括奇數冪。
* 一個[[周期函數|週期]]偶函數的[[傅立葉級數]]只包括[[餘弦|cos]]項。
* 一個週期奇函數的傅立葉級數只包括[[正弦|sin]]項。

=== 代數結構 ===

*偶函數的任何[[線性組合]]皆為偶函數，且偶函數會形成一個[[實數]]上的[[向量空間]]。相似地，奇函數的任何線性組合皆為奇函數，且奇函數亦會形成一個實數上的向量空間。實際上，「所有」實值函數之向量空間為偶函數和奇函數之[[線性子空間|子空間]]的[[直和]]。換句話說，每個定义域关于原点对称的函數都可以被唯一地寫成一個偶函數和一個奇函數的相加：<math display="block">f(x)=f_\mathrm{even}(x)+f_\mathrm{odd}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\,+\,\frac{f(x)-f(-x)}{2}</math>

* 偶函數會形成一個實數上的[[多元環|可交換代數]]，但奇函數則不會形成任何一個在實數上的代數。

=== 諧波 ===

在[[信號處理]]裡，[[失真|諧波失真]]會產生於當一個[[正弦曲線|正弦波]]信號被一非線性[[傳遞函數]]放大的時候。其[[諧波]]的類型會因傳遞函數的不同而不同：<ref>{{Cite web |url=http://www.uaudio.com/webzine/2005/october/content/content2.html |title=Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics |accessdate=2006-12-25 |archive-date=2018-01-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180101163415/http://www.uaudio.com/webzine/2005/october/content/content2.html |dead-url=no }}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.uaudio.com/webzine/2005/october/content/content2.html|title=Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics|date=October 2005|last=Berners|first=Dave|publisher=Universal Audio|quote=To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.|website=UA WebZine|access-date=2016-09-22|archive-date=2018-01-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20180101163415/http://www.uaudio.com/webzine/2005/october/content/content2.html|dead-url=no}}</ref>

* 當傳遞函數為偶函數，其輸出信號會只包括輸入正弦波的偶諧波；<math>2f, 4f, 6f, \dots</math>
** 其[[基本頻率|基頻]]亦為一個奇諧波，故將不會出現在輸出信號裡。
** 一個簡單的例子為[[整流器|全波整流器]]。
* 當傳遞函數為奇函數時，其輸出信號會只包括輸入正弦波的奇諧波；<math>1f, 3f, 5f, \dots</math>
** 其輸出信號將會有半波[[對稱]]。
** 一個簡單的例子為在一個對稱[[電子放大器|推挽式放大器]]內的[[截波]]。
* 當傳遞函數為不對稱時，其輸出信號會包括偶諧波或奇諧波；<math>1f, 2f, 3f, \dots</math>
** 一個簡單的例子為在一個不對稱[[A類放大器]]內的截波。

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist}}

=== 来源 ===
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; 书籍
* {{cite book |last1 = Gelfand |first1 = I. M. |author1-link = 伊斯拉埃爾·蓋爾范德 |last2 = Glagoleva |first2 = E. G. |last3 = Shnol |first3 = E. E. |year = 2002 |origyear = 1969 |title = Functions and Graphs |publisher = Dover Publications |publication-place = Mineola, NY |page =  |url = http://store.doverpublications.com/0486425649.html |accessdate =  |archive-date = 2016-09-21 |archive-url = https://web.archive.org/web/20160921063230/http://store.doverpublications.com/0486425649.html |dead-url = no }}
{{refend}}

== 参见 ==
{{Portal|数学}}
* [[埃爾米特函數]]：在[[复数 (数学)|複數]]上的推广
* [[泰勒級數]]
* [[傅里葉級數]]

[[Category:各类函数]]
[[Category:奇偶性 (数学)]]
[[Category:微积分]]