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'''大衍求一术'''，又名'''求一术'''，是中国数学史中通常被用来泛指[[南宋]]数学家[[秦九韶]]发明的求解[[中国剩余定理]]的历史算法（不是中国剩余定理的现代算法）。秦九韶原来的《数书九章》求解一次同余式组的算法的总称叫做'''大衍总数术'''，或'''大衍术'''、而其中一个计算'''乘率'''的子程序，才是'''大衍求一术'''。

大衍术是秦九韶最得意的创作，特放在《数书九章》之首。欧洲直到18世纪德国数学家[[高斯]]，才有相类的结果。秦九韶大衍术领先世界五百余年。

==历史==
一次同余式组问题，最早见于《[[孙子算经]]》卷下第二十六问：
{{quote|有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？答曰：二十三。術曰：三三數之，賸二，置一百四十；五五數之，賸三，置六十三；七七數之，賸二 ，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之，賸一，則置七十；五五數之，賸一，則置二十一；七七數之，賸一，則置十五。一百六以上，以一百五 減之，即得。}}
:宋周密《志雅堂杂钞》述'''鬼谷算'''，又名'''隔墙算'''。
:[[杨辉]]《继古摘奇算法》记载'''剪管术'''解孙子物不知数的算法：
{{quote|术曰：三数剩一下七十，五数剩一下二十一，七数剩一下五十。三位并之得二百三十三，满一百五去之，减两个一百五，余二十三为答数}}
{{quote|七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本总数几何？答曰：四百九十八}}
明严恭《通源算法》：<ref name="li">李俨 118-120页</ref>{{quote|今有散钱不知其数，作七十七穿之，欠五十凑穿，若作七十八穿之，不多不少。问钱数若干？答曰：二千一百六文}}

明朝数学家[[程大位]]有《孙子歌》如下：<ref>李俨 《大衍求一术的过去和未来》</ref>
{{quote|三人同行七十希，五樹梅花廿一支，七子團圓正半月，除百零五使得知}}

清代学者张敦仁在《求一算术》中提出大衍求一术源自《孙子算经》物不知数，后世学者，多从其说。但近年[[李俨 (现代学者)|李俨]]、[[钱宝琮]]等学者提出大衍求一术很可能源自西汉《[[三统历]]》中计算[[上元积年]]的“通其率”近似法，其后《[[古四分历]]》和《[[乾象历]]》沿用此法。<ref name="qianb">钱宝琮 《秦九韶数书九章研究》 621页</ref><ref name="李继闵">李继闵 145-155</ref>

事实上，秦九韶在《数书九章序》中就写道：“独大衍法不载《九章》，未有能推之者，历家推演法颇用之”，“历家虽用，其用不知，小试经世，姑推所为，述大衍第一。”

==大衍总数术==
[[File:Shuxuejiuzhang-020-020.jpg|thumb|right|300px|秦九韶大衍总数术]]

秦九韶大衍总数术原载《数书九章》第一卷上 大衍类 《蓍卦发微》：
{{quote|置诸元数，两两连环求等，约奇弗约偶，遍约毕，乃变元数，皆曰定母，列右行，各立天元一为子，列左行，以定诸母，互乘左行之子，各得名曰衍数，次以各定母满去衍数，各余名曰奇数，以奇数与定母，用大衍术求一。}}

程序如下：<ref name="wang 1">王守义 10-38</ref><ref name="Li">李俨 123-133</ref><ref name="Yuan 1">袁向东，李文林 159-179</ref>。

:1。将问数（有关问题中的数字）[<math>m_{1}</math>，<math>m_{2}</math>……<math>m_{n}</math>]，分为四大类
*元数：整数
*收数：带小数的有理数。
*通数：分数
*复数：10的倍数。
:2.如果问数[<math>m_{1}</math>，<math>m_{2}</math>……<math>m_{n}</math>]是收数，则以10的倍数乘之化为元数列，按元数计算。
:3：如果问数[<math>m_{1}</math>，<math>m_{2}</math>……<math>m_{n}</math>]包含分数，则化为元数列，按元数计算。

:4。当问数[<math>m_{1}</math>，<math>m_{2}</math>……<math>m_{n}</math>]是整数
:4.1:将问数成对以其最大公约数约化，约奇数不约偶数；如二数都是偶数，约化其中之一。如二数中一个数是10的倍数，另一数的个位是5，则约化偶数不约化奇数。最后得到一组

'''定母'''：[<math>m'_{1}</math>，<math>m'_{2}</math>……<math>m'_{n}</math>]。

'''定母'''之中避免过多1，得到一个“1”即可。各定母为相应问数的因子；定母两两互为质数。定母的乘积称为'''衍母'''，是问数的最小公倍数。
:'''衍母''' v=∏ <math>m'_{i}</math>;  i=1…n;
:4.3：将各定母分别除衍母，得到一组'''衍数'''：[<math>M_{1}</math>，<math>M_{2}</math>……<math>M_{n}</math>]
:其中 '''衍数''' <math>M_{i}=</math> v/<math>m'_{i}</math>
:4.4 用'''定母'''<math>m'_{i}</math> 约化'''衍数'''<math>M_{i}</math> (i=1……n)；余数<math>d_{i}</math> 称为'''奇数'''。

:4.4 当'''奇数'''<math>d_{i}</math>=1时，'''乘率'''<math>x_{i}</math>=1。
当'''奇数'''<math>d_{i}</math>≠1时，从'''定母'''<math>m'_{i}</math>和'''奇数'''<math>d_{i}</math>，用'''大衍求一术'''计算'''乘率'''<math>x_{i}</math>；（i=1……n)。

:4.5 '''衍數'''乘以'''乘率'''，稱為'''用數'''。

:4.6 各'''餘數'''乘以相應的'''用數'''，得出'''各總'''。

:4.7 '''各總'''的總和，稱為'''總數'''。

:4.8 把'''總數'''除以'''衍母'''所得的餘數，便是'''所求數'''。

:例一：《孙子算经》“物不知数”，

:*問数：3，5，7；因两两互素，也即定母。
:*定母：3，5，7
:*衍母=3*5*7=105
:*衍数：35，21，15
:*奇数：2，1，1
:*乘率：2，1，1
:*用數：70，21，15
:*餘數：2，3，2
:*各總：140，63，30
:*總數=140+63+30=233
:*所求數=23

:例二

:*問数：108，57，75，40
:*定母：27，19，25，8
:*衍母 =27*19*25*8=102600
:*衍数：3800，5400，4104，12825
:*奇数：20，4，4，1
:*乘率：23，5，19，1

==大衍求一术==
===求乘率===
[[File:Shuxuejiuzhang-028-028.jpg|thumb|right|350px|秦九韶《数书九章》大衍求一术]]

秦九韶用大衍求一术解：

: 乘率 * 奇数≡1（mod 定母） 

{{quote|大衍求一術云︰置奇右上，定居右下，立天元一於左上。先以右上除右下，所得商數與左上一相生，入左下。然後乃以右行上下，以少除多，遞互除之，所得商數隨即遞互累乘，歸左行上下。須使右上末後奇一而止，乃驗左上所得，以為乘率。}}

例一：定母 83，奇数 65，求乘率x<ref name="LY">李俨 128-130页</ref><ref name="Ulrich">李倍始 p341</ref>
: x*65≡1 mod（83）
: 答：乘率=23
: 置天元一于左上角，置奇数于右上角，置定数右下角，置0于左下角。

{| class="wikitable"
|-
| 大衍|| 奇数 || 
|-
| 0 || 定母 || 
|}
{| class="wikitable"
|-
| 1 || 65 || 
|-
| 0 || 83 || 
|}

: 83/65 =1， 置左下，余数 18 置右下。
{| class="wikitable"
|-
| 1 || 65 || 0
|-
| 1 || 18 || 1
|}

: 65/18 商=3，加于左上，余数11，置右上
{| class="wikitable"
|-
| 4 || 11 || 3
|-
| 1 || 18 || 0
|}

: 18/11，商=1，乘左上，加于左下，余数7，置右下。
{| class="wikitable"
|-
| 4 || 11 || 0
|-
| 5 || 7 || 1
|}

: 余类推，直到右上=1 为止。
{| class="wikitable"
|-
| 9 || 4 || 1
|-
| 5 || 7 || 0
|}
{| class="wikitable"
|-
| 9 || 4 || 0
|-
| 14 || 3 || 1
|}
{| class="wikitable"
|-
| 23 || 1 || 1
|-
| 14 || 3 || 0
|}

: 右上=1，左上=23=乘率。
<math>23 * 65=1495=</math>1 (mod 83)

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
{{Reflist|2}}

=== 来源 ===
* [[李俨 (现代学者)|李俨]] ：《大衍求一术的过去和未来》《李俨钱宝琮科学史全集》卷6 121页《程大位的孙子歌》辽宁教育出版社. 1998
* [[钱宝琮]]：《秦九韶数书九章研究》》《李俨钱宝琮科学史全集》卷9
* [[吴文俊]] 主编：《[[中国数学史大系]]》 第五卷 第三、四、五编
* 吴文俊 主编：《秦九韶与数书九章》 北京师范大学出版社 1987
* ［比利时］李倍始（Ulrich Libbrecht）：''Chinese Mathematics in the Thirteen Century (The Shu-Shu-Chiu-Chang of Chin Chiu shao)'' Dover Publication ISBN 0486446190
* [[秦九韶]] 原著，王守义 遗著，李俨 审校：《数书九章新释》 安徽科学技术出版社 1992  ISBN 7-5337-0788-5/O
* 李继闵：《大衍求一术溯源》，吴文俊 主编 ：《秦九韶与数书九章》 138-158页 北京师范大学出版社 1987
* 袁向东、李文林：《数书九章中的大衍类问题和大衍总数术》 ，吴文俊 主编 ：《秦九韶与数书九章》 159-179 北京师范大学出版社 1987

== 参见 ==
{{Portal box|中国数学史}}
* [[中国剩余定理]]
* [[秦九韶]]

{{-}}
{{中国数学史}}

[[Category:宋朝数学]]