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在[[集合論]]，'''大基數性質'''是[[超限數|超限]][[基數 (數學)|基數]]可能具有的若干性質的統稱。顧名思義，有某種大基數性質的基數（'''大基數'''）一般都很「大」（例如，比滿足<math>\alpha = \omega_\alpha</math>的最小的<math>\alpha</math>更大，其中<math>\omega_\alpha</math>的意義見[[阿列夫數]]）。大基數的存在性不能用最常見的[[ZFC]]集合論[[公理系統]]證明，所以，若需要大基數才能證明某些結論，則可用所需的大基數來衡量該結論「超出」ZFC的程度。其如[[達納·斯科特]]所言，量化了「欲證更多，必先假設更多」。<ref>{{cite book|last=Bell|first=J.L.|title=Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory | trans-title = 布爾值模型及集合論的獨立性證明|url=https://archive.org/details/booleanvaluedmod0000bell|pages=viii|publisher=Oxford University Press|year=1985|isbn=0-19-853241-5|no-pp=true |language = en}}</ref>

常見大基數類別有[[不可达基数]]、{{le|拉姆齊基數|Ramsey cardinal}}、{{le|弱紧基数|Weakly compact cardinal}}和[[可测基数]]等，其中可测基数和拉姆齊基数都比弱紧基数强，而若假定[[選擇公理]]，弱紧基数是不可达基数。

集合論界中有以下粗略約定：ZFC足以證明的結論敍述時不用列明前提「假設ZFC」，但若證明要求其他假設（例如存在某個大基數），則須列明。視乎哲學派別，或認為該約定僅是語言慣例，或認為其意義更重大（見[[#研究動機和公理認受性|研究動機和公理認受性]]一節）。

'''{{vanchor|大基數公理}}'''是斷言特定大基數存在的公理。例如，「存在3個不可達基數」便屬大基數公理。

許多集合論者相信現時考慮的大基數公理皆與ZFC[[一致性 (邏輯)|相容]]{{Citation needed|date=February 2020}}。該些公理足以推出ZFC相容，因此ZFC（若相容）無法證明該些公理與ZFC相容，否則ZFC將證明自身的相容性，與[[哥德爾不完備定理|哥德爾第二不完備定理]]矛盾。

並無準確定義何種性質為大基數性質，但{{le|大基數性質列表|list of large cardinal properties}}列舉了若干較普遍接受的大基數性質。

==部分定義==
某個基數性質稱為'''大基數性質'''有個必要條件：未知[[ZFC]]能證明不存在具有該種性質的基數，且已證明若ZFC[[一致性 (邏輯)|相容]]，則ZFC與「不存在該種基數」也相容（即已證明ZFC（若相容）不能證出該種基數存在）。

==相容強度層級==
值得注意，雖然{{le|喬爾·哈姆金斯|Joel David Hamkins}}<!--按[[WP:外語譯音表/英語]]暫譯-->稱找到不能比較相容強度的大基數公理<ref>{{cite web|last = Hamkins|first = Joel David|title = Nonlinearily in the hierarchy of large cardinal consistency strength|trans-title = 大基數的相容強度層級非線性|url = http://jdh.hamkins.org/wp-content/uploads/linearity-3.pdf|date = 2021|language = en|access-date = 2021-08-20|archive-date = 2021-08-20|archive-url = https://web.archive.org/web/20210820101115/http://jdh.hamkins.org/wp-content/uploads/linearity-3.pdf|dead-url = no}}</ref>，仍有許多自然的大基數公理按{{le|等相容|Equiconsistency|相容強度}}組成[[全序關係|全序]]。換言之，對於大基數公理<math>A_1</math>和<math>A_2</math>，通常恰有以下三者之一：
#除非ZFC不相容，否則<math>\mathsf{ZFC}+A_1</math>相容當且僅當<math>\mathsf{ZFC}+A_2</math>相容；
#<math>\mathsf{ZFC}+A_1</math>證明<math>\mathsf{ZFC}+A_2</math>相容；
#<math>\mathsf{ZFC}+A_2</math>證明<math>\mathsf{ZFC}+A_1</math>相容。
此三者互斥，除非所提及的理論其實不相容。

情況1，稱<math>A_1</math>與<math>A_2</math>{{le|等相容|Equiconsistency}}。情況2，稱<math>A_1</math>在'''相容意義下強'''於<math>A_2</math>（情況3則反之）。若<math>A_2</math>強於<math>A_1</math>，則即使由<math>\mathsf{ZFC}+A_1+\mathsf{Cons}(\mathsf{ZFC}+A_1)</math>，也不能證明<math>\mathsf{ZFC}+A_2</math>相容（前提是<math>\mathsf{ZFC}+A_1</math>確實相容）。此為[[哥德爾不完備定理|哥德爾第二不完備定理]]的推論。

由於未有大基數公理的準確定義（並有哈姆金斯的結果），以上觀察無法成為定理。此外，對一些<math>A_1, A_2</math>，仍未知三個情況何者為真。{{le|薩哈龍·謝拉赫|Saharon Shelah}}<!--按[[WP:外語譯音表/希伯來語]]暫譯-->問：「是否有定理解釋，抑或是我們的目光比所以為的更單一？」<ref>{{cite arXiv |last= Shelah|first= Saharon|eprint= math/0211397|title=The Future of Set Theory|trans-title = 集合論的未來|year= 2002|version= v1|language =en}}
</ref><!--:en:此處有{{le|休·伍丁|W. Hugh Woodin}}, however, deduces this from the [[Ω-conjecture]], the main unsolved problem of his [[Ω-logic]]，因未能查證而暫略-->同樣值得注意，許多[[無窮元組合學|組合命題]]恰與某個大基數等相容，而非介於兩個大基數的等相容強度之間。

等相容強度的順序，不必等於具有該性質的最小基數的大小順序。例如，{{le|巨大基數|huge cardinal}}的存在性，在相容意義下遠強於{{le|超緊基數|supercompact cardinal}}的存在性，但假設兩者皆存在，則首個巨大基數小於首個超緊基數<ref>{{cite journal|last = Morgenstern|first =  Carl F. |title = On the Ordering of Certain Large Cardinals|trans-title = 論某些大基數的次序|journal = The Journal of Symbolic Logic| volume = 44|issue = 4|date = 1979|pages = 563–565| language = en|doi = 10.2307/2273295}}</ref>。

== 研究動機和公理認受性==
大基數可放在[[冯·诺伊曼全集]]<math>V</math>理解。冯·诺伊曼全集是將[[冪集]]運算（將某集合的所有子集組成集合）[[超限歸納法|超限疊代]]而得。無大基數的[[模型論|模型]]經常可視為有大基數的模型的子模型。例如，若有[[不可達基數]]，則在首個不可達基數<math>\kappa</math>的高度將全集<math>V</math>截斷成<math>V_\kappa</math>，便是無不可達基數的[[全集]]。又設有[[可測基數]]<math>\lambda</math>，則疊代「可定義」冪集運算（而非完整的冪集運算），便得{{le|哥德爾可構全集|Gödel's constructible universe}}<math>L</math>，其不認為存在可測基數，即使<math>L</math>仍包含<math>\lambda</math>（作為[[序數]]）。

所以，一些{{le|加州學派 (集合論)|Cabal (set theory)|加州學派}}集合論者認為，大基數公理「說明」正在考慮全部「應當」考慮的集合，而否定大基數公理，則「限制」只考慮一部分集合。更甚者，大基數公理的後果似乎可以找到一定規律（見麥迪〈相信公理之二〉<ref>{{cite journal | last = Maddy | first = Penelope | title = Believing the Axioms. II | trans-title = 相信公理之二 | journal = The Journal of Symbolic Logic | volume = 53 | issue = 3 | date = 1988 | pages = 736–764 | language = en | url = http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/belaxioms2.pdf | doi = 10.2307/2274569 | access-date = 2021-08-21 | archive-date = 2021-08-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210821100358/http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/belaxioms2.pdf | dead-url = no }}</ref>）。因此，該些集合論者傾向認為，大基數公理是ZFC的較好的擴展，勝於其他較少明確動機的公理（如[[馬丁公理]]），也勝於他們直觀認為較不可能的公理（如{{le|可構公理|V=L}}）。此派中的[[數學哲學|實在論者]]視大基數定理為「真」。

當然上述觀點並不普遍。一些[[形式主義#數學|形式論者]]會斷言，標準集合論，按其定義，是研究ZFC有何後果。其未必反對研究其他系統有何後果，而僅覺得無理由偏好大基數公理。也有實在論者不以{{le|極大存在論|ontological maximalism}}（即認為可存在之事皆存在）為接受大基數公理的合適動機，甚至相信大基數公理為假。此外，還有人指出，否定大基數公理並非「限制」，因為例如，雖然哥德爾可構全集<math>L</math>不認為存在可測基數，但<math>L</math>中也可以有[[傳遞集合]]模型認為存在可測基數。

==參見==
*[[首個不可數序數]]
* [[ZFC系統無法確定的命題列表]]

==參考資料==
{{reflist}}

{{集合论}}

[[分类:大基數]]
[[分類:集合论公理]]