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[[File:Maaellipsoid.png|缩略图|420x420像素|大地水准面高（N）是大地水准面（绿色实线）上一点沿法线（纵向黑色虚线）投影至参考椭球面（横向黑色虚线）的距离]]
'''大地水准面高'''，也称'''大地水准面起伏'''或'''大地水准面差距'''，指[[大地水准面]]上的一点沿[[法线]]投影至[[参考椭球面]]上的距离。<ref name=":2">{{Cite book|chapter=|url=http://archive.org/details/HeiskanenMoritz1967PhysicalGeodesy|date=1967|last=San Francisco W. H. Freeman and Company|title=Heiskanen Moritz 1967 Physical Geodesy|first=|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1967|isbn=|location=San Francisco|pages=|language=en}}</ref>{{Rp|83}}<ref name=":1">{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.co.jp/books?id=EYUbDgAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=zh-CN#v=onepage&q&f=false|publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co KG|date=2015-08-31|isbn=978-3-11-154268-3|language=en|first=Wolfgang|last=Torge|title=Geodesy|year=|location=|pages=|access-date=2020-04-13|archive-date=2020-08-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20200821022253/https://books.google.co.jp/books?id=EYUbDgAAQBAJ&printsec=frontcover&hl=zh-CN#v=onepage&q&f=false|dead-url=no}}</ref>{{Rp|134}}当大地水准面高为正值时，表示大地水准面在参考椭球面的上方，反之则表示其在参考椭球面的下方。在[[正高|正高系统]]中，大地水准面高亦被描述成[[大地高]]与[[正高]]的差距。<ref name=":12">{{Cite book|title=Physical Geodesy|last=Sneeuw|first=Nico|publisher=Institute of Geodesy Universität Stuttgart|year=2006|isbn=|location=|url=https://www.gis.uni-stuttgart.de/lehre/campus-docs/LNErdm.pdf|access-date=2020-04-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20200413023934/https://www.gis.uni-stuttgart.de/lehre/campus-docs/LNErdm.pdf|archive-date=2020-04-13|dead-url=yes}}</ref>{{Rp|9}}

== 数学表达 ==
设[[大地水准面]]有一点 <math>\mathbf{P}</math> ，其沿[[法线]]投影到参考椭球面上的点为 <math>\mathbf{Q}</math>，则 <math>\mathbf{P}</math> 点处的[[大地水准面高]] <math>N</math> 即为两点之间的距离 。<ref name=":2" />{{Rp|83}}

=== 与扰动位的关系 ===
{{Main|布隆斯公式}}
设 <math>\mathbf{P}</math> 点处的[[扰动位]]为 <math>T</math>，计算得的 <math>\mathbf{Q}</math> 点处的[[正常重力]]为 <math>\gamma</math>，则大地水准面高与前两者的关系为：<ref name=":2" />{{Rp|85}}

: <math>N = \frac{T}{\gamma}</math>

该公式又被称为布隆斯公式，由[[德国]][[大地测量学]]家[[海因里希·布伦斯|海因里希·布隆斯]]于[[1878年]]提出。<ref>{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.co.jp/books/about/Die_Figur_der_Erde.html?id=DP0-AAAAYAAJ&redir_esc=y|publisher=P. Stankiewicz|date=1878|language=de|first=Heinrich|last=Bruns|title=Die Figur der Erde: Ein Beitrag zur europäischen Gradmessung|year=|isbn=|location=|pages=20|access-date=2020-04-13|archive-date=2020-05-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20200503094226/https://books.google.co.jp/books/about/Die_Figur_der_Erde.html?id=DP0-AAAAYAAJ&redir_esc=y|dead-url=no}}</ref>

=== 与垂线偏差的关系 ===
{{Main|垂线偏差}}
[[垂线偏差]]在南北方向（即[[子午圈]]方向）上的投影 <math>\xi</math> 和其在东西方向（即[[卯酉圈]]方向）上的投影 <math>\eta</math> 与大地水准面高有如下关系：<ref name=":2" />{{Rp|112}}

: <math>\begin{cases}
\xi  = -\frac{1}{R}{\partial N \over\partial \varphi} \\
\eta = -\frac{1}{R \cos \varphi}{\partial N \over\partial \lambda}
\end{cases}</math>

其中，<math>R</math>为[[地球]]的[[地球半径|平均半径]]，<math>\left(\varphi, \lambda \right)</math>是  <math>\mathbf{Q}</math> 点的[[地理坐标系|地理坐标]]。

== 测定方式 ==

=== 斯托克斯方法 ===
在[[斯托克斯]]提出的计算公式中，扰动位 <math>T</math> 以整个大地水准面 <math>
\sigma
</math> 上[[重力异常]] <math>
\Delta g
</math> 的[[积分]]形式表达：<ref name=":122">{{Cite web|title=On the Variation of Gravity at the Surface of the Earth|url=https://www.cambridge.org/core/books/mathematical-and-physical-papers/on-the-variation-of-gravity-at-the-surface-of-the-earth/8A97F960FEBC51AEA402149C82FD656B|accessdate=2020-04-06|date=2009/07|last=Stokes|first=George Gabriel|work=Mathematical and Physical Papers|language=en|archive-date=2020-08-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20200808031025/https://www.cambridge.org/core/books/mathematical-and-physical-papers/on-the-variation-of-gravity-at-the-surface-of-the-earth/8A97F960FEBC51AEA402149C82FD656B|dead-url=no}}</ref>

:<math>
T = {R \over 4\pi}\iint\limits_{\sigma}\Delta g \,S(\psi)\operatorname{d}\!\sigma
</math>

则大地水准面高的计算公式为：

:<math>
N = {R \over 4\pi\bar{\gamma}}\iint\limits_{\sigma}\Delta g \,S(\psi)\operatorname{d}\!\sigma
</math>

其中的 <math>
S(\psi)
</math> 被称为[[斯托克斯函数]]<ref>{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.co.jp/books?id=yG4iAQAAIAAJ&printsec=frontcover&hl=zh-CN#v=onepage&q&f=false|publisher=U.S. Government Printing Office|date=1936|language=en|first=U. S. Coast and Geodetic|last=Survey|first2=Walter Davis|last2=Lambert|first3=Frederic Warren|last3=Darling|title=Tables for Determining the Form of the Geoid and Its Indirect Effect on Gravity|year=|isbn=|location=|pages=|access-date=2020-04-13|archive-date=2020-08-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20200821034906/https://books.google.co.jp/books?id=yG4iAQAAIAAJ&printsec=frontcover&hl=zh-CN#v=onepage&q&f=false|dead-url=no}}</ref>，该项由单位球面上的被计算点与重力异常观测值所在的角元素之间的夹角 <math>
\psi
</math> 决定：<ref name=":2" />{{Rp|94}}

:<math>
S(\psi) = {1 \over \sin(\psi/2)} - 6\sin{\psi \over 2} + 1 - 5\cos{\psi}
- 3\cos{\psi}\ln{(\sin{\psi \over 2} + \sin^2{\psi \over 2})}
</math>

=== 地球重力场模型法 ===
在地球重力场模型中，[[扰动位]] <math>T</math> 被表达成[[球谐函数]]的[[级数]]表达式：'''<ref name="whu2">{{cite book|author1=孔祥元|author2=郭际明|author3=刘宗泉|title=大地测量学基础|publisher=武汉大学出版社|ISBN=978-7-30-707562-7|pages=|last=|first=|year=2001|isbn=|location=}}</ref>{{Rp|54}}'''

: <math>
T = {GM \over r} {\sum_{n=2}^{\infin}} {({a \over r})}^n {\sum_{m=0}^n} 
\left[ \bar{C}_{nm}\cos{m\lambda} +
\bar{S}_{nm}\sin{m\lambda} \right]
\bar{P}_{nm}(\cos{\theta})
</math>

通过[[布隆斯公式]]，上式可转化为大地水准面高的计算公式：

: <math>
N = {GM \over r\bar{\gamma}} {\sum_{n=2}^{\infin}} {({a \over r})}^n {\sum_{m=0}^n} 
\left[ \bar{C}_{nm}\cos{m\lambda} +
\bar{S}_{nm}\sin{m\lambda} \right]
\bar{P}_{nm}(\cos{\theta})
</math>

上式中的各个量的含义如下：

* <math>
(r, \theta, \lambda)
</math>是空间中某特定点的[[球座標系|球坐标]]，<math>r\ </math>是点的地心距离， <math>\theta </math>和 <math>\lambda\ </math>分别是点的地心纬度的[[余角]]和经度

* <math>
GM
</math> 为重力场模型的[[標準重力參數|地心引力常数]]

* <math>a</math> 为地球（参考椭球体）的[[半長軸|长半轴]]
* <math>\overline{P}_{nm}</math> 是 <math>n\ </math>阶 <math>m\ </math>次的完全正规化[[缔合勒让德多项式]]
* <math>\overline{C}_{nm}</math> 和 <math>\overline{S}_{nm}</math> 是由测量数据确定的该重力场模型的完全正规化系数
* <math>
\bar{\gamma}
</math> 是某区域内[[正常重力]]的平均值

=== 卫星测高法 ===

==== 海水面大地高 ====
[[卫星测高]]技术通过搭载在[[人造卫星]]上的[[测高仪]]来测得[[海平面|海水面]]的[[大地高]]（椭球高） <math>h</math>，其基本观测方程为：<ref name=":0">{{Cite book|chapter=Principle of satellite altimetry and elimination of radial orbit errors|title=Satellite Altimetry in Geodesy and Oceanography|series=Lecture Notes in Earth Sciences|url=https://doi.org/10.1007/BFb0117929|publisher=Springer|date=1993|location=Berlin, Heidelberg|isbn=978-3-540-47758-7|pages=190–241|doi=10.1007/bfb0117929|language=en|first=Reiner|last=Rummel|editor-first=Reiner|editor-last=Rummel}}</ref>'''{{Rp|192}}'''

:<math>
h = r_s - \rho - r_e - C
</math>

上式中各个量的含义如下：

* <math>
r_s
</math>是卫星的地心距离
* <math>
\rho
</math> 是测高仪测得的卫星相对于海水面的高度
* <math>
r_e
</math> 是卫星[[星下点]]的地心距离，该星下点位于[[参考椭球面]]上

特别地，<math>
C
</math> 是因椭球[[法线]]与地心[[向径]]的不重合而产生的改正项，量级通常在0至5米之间，计算公式为：<ref name=":0" />'''{{Rp|192}}'''

:<math>
C = {r_e \over 8} \left( 1 - {r_e \over r_s} \right) e^4 \sin^2 2B
</math>

其中 <math>e</math> 为参考椭球的偏心率， <math>B</math>为星下点的[[纬度|大地纬度]]。

==== 海面地形改正 ====
通过上述公式计算得[[海平面|海水面]][[大地高]] <math>h</math> 包含[[海面地形]] <math>H</math> 和大地水准面高 <math>N</math> 两部分：<ref name=":0" />'''{{Rp|193}}'''

:<math>
h = N + H
</math>

其中海面地形描述的是瞬时海平面与大地水准面之间的差距<ref>{{Cite web|title=Ocean Surface Topography {{!}} PO.DAAC|url=https://podaac.jpl.nasa.gov/OceanSurfaceTopography|accessdate=2020-04-13|work=podaac.jpl.nasa.gov|archive-date=2021-01-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20210128163121/https://podaac.jpl.nasa.gov/OceanSurfaceTopography|dead-url=no}}</ref>。因此，在求得海水面的大地高之后，既能研究瞬时海水面的起伏变化，也可以确定一段时间内的[[平均海水面]]与[[大地水准面]]的形态分布。

== 相关条目 ==

* [[大地水准面]]
* [[参考椭球面]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}{{物理大地测量学}}
[[Category:大地测量学]]