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{{Infobox polyhedron
| name = 大五角化十二面體
| polyhedron = 大五角化十二面體
| imagename = DU58_great_pentakisdodecahedron.png
| Type = [[均勻多面體對偶]]<br/>星形多面體
| Face = 60
| Edge = 90
| Vertice = 24
| Face_type = 60個銳角[[等腰三角形]]<br/>[[File:DU58_facets.png|90px]]
| Vertice_type = 
| Schläfli = 
| Coxeter_diagram = {{CDD|node_f1|5|rat|d3|node_f1|5|node}}
| Wythoff = 
| Symmetry_group = I<sub>h</sub>, [5,3], *532
| Index_references = DU<sub>58</sub>
| Rotation_group = 
| Properties = 等面、非凸
| dual_image = Small_stellated_truncated_dodecahedron.png
}}
在[[幾何學]]中，'''大五角化十二面體'''（Great pentakis dodecahedron）是一種非凸等面多面體，由60個[[全等]]且互相相交的[[等腰三角形]]面組成，是[[均勻多面體]]——[[小星形截角十二面體]]的[[對偶多面體]]<ref>{{Cite web |url=https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/g/g289.htm |author=Eric W. Weisstein |title=Great Pentakis Dodecahedron is the Dual of the Small Stellated Truncated Dodecahedron. |publisher=[[密西根州立大學]][[圖書館]]  |date=1999-05-25 }}</ref>，可由[[大十二面體]]經向內五角化變換構成。由於其對偶多面體[[小星形截角十二面體]]有通過非常接近整體[[幾何中心]]的面，因此導致其外觀有非常銳利的尖角。整個立體共有12個這種尖角，若只考慮這些尖角，整個立體可以視為由[[正十二面體]]的每個面上加入錐高非常高的五角錐來構成這些尖角，因此這個立體也可以視為[[五角化十二面體]]的一種[[五角化十二面體#變體|變體]]。

== 性質 ==
大五角化十二面體由60個面、90條邊和24個[[頂點 (幾何)|頂點]]組成<ref name = bulatov.org>{{Cite web | url = http://bulatov.org/polyhedra/dual/ud63.html | title = great pentakisdodekahedron | publisher = bulatov.org | access-date = 2023-02-24 | archive-date = 2023-02-24 | archive-url = https://web.archive.org/web/20230224160650/http://bulatov.org/polyhedra/dual/ud63.html | dead-url = no }}</ref><ref>{{cite web | url=http://gratrix.net/polyhedra/uniform/w7_dual_58.html | title=great pentakisdodecahedron | website=gratrix.net | access-date=2023-02-27 | archive-date=2021-04-01 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210401061154/http://gratrix.net/polyhedra/uniform/w7_dual_58.html | dead-url=no }}</ref>，是一種[[六十面體]]。其具有互相相交的面，是一種[[複雜多面體]]，但其僅有面互相相交，其所有面都是凸多邊形<ref name=bulatov.org/>。

=== 外觀 ===
[[File:Transformation between great pentakis dodecahedron and great dodecahedron.gif|thumb|left|大五角化十二面體也可以視為在[[大十二面體]]向內側疊上五角錐所形成的立體]]
大五角化十二面體的外觀與在正十二面體的每個面上疊上錐高非常高、非常尖銳的五角錐相同，但若只是在正十二面體的每個面上疊上五角錐這樣的結構與大五角化十二面體的拓撲結構並不相同，大五角化十二面體除了露在立體外部可見的12個尖銳角之外，還有12個頂點隱沒在立體內部<ref name="dmccooey GreatPentakisDodecahedron"/>，這12個頂點在立體內部與等腰三角形的底邊形成一個[[正二十面體]]，若檢視每個疊上的錐體之底面的配置，則在立體內部由等腰三角形底邊構成的結構可以視為一個大十二面體，這些頂點都是10個等腰三角形底角的公共頂點，頂點圖為施萊夫利符號計為{10/3}的十角星，對應其對偶多面體的十角星面，而這個立體露在外部的12個尖角則對應其對偶多面體的五邊形面，因此，大五角化十二面體的對偶多面體是一個由12個十角星和12個五邊形組成的多面體<ref>{{cite web | url = http://www.polytope.net/hedrondude/truncates3.htm | title = 18. Quit Sissid, Polyhedron Category 2: Truncates | author = Andrew Weimholt | publisher = polytope.net | access-date = 2019-10-05 | archive-url = https://web.archive.org/web/20180702031407/http://www.polytope.net/hedrondude/truncates3.htm | archive-date = 2018-07-02 | dead-url = no }}</ref>。

=== 面的組成 ===
大五角化十二面體的面由60個[[全等]]的[[等腰三角形]]組成，每個等腰三角形彼此互相[[相交]]，每個等腰三角形皆露出一個角，其餘兩角皆隱藏於該立體的內部。露在該立體外部的部分如下圖，以藍色表示，其中黑線代表等腰三角形彼此互相[[相交]]的位置：
:[[Image:DU58_facets.png|150px]]
若大五角化十二面體的對偶多面體——[[小星形截角十二面體]]的邊長為單位長，則對應的大五角化十二面體的短邊長，也就是等腰三角形的底邊長為<ref name="dmccooey GreatPentakisDodecahedron">{{cite web | url = http://dmccooey.com/polyhedra/GreatPentakisDodecahedron.html | title = Self-Intersecting Truncated Regular Duals: Great Pentakis Dodecahedron | publisher = dmccooey.com | access-date = 2023-02-23 | archive-date = 2022-12-23 | archive-url = https://web.archive.org/web/20221223123031/http://dmccooey.com/polyhedra/GreatPentakisDodecahedron.html | dead-url = no }}</ref>：
:<math>\frac{3\sqrt5-5}2\approx 0.8541019662</math>
大五角化十二面體的長邊長，也就是等腰三角形的腰長為<ref name="dmccooey GreatPentakisDodecahedron"/>：
:<math>\frac{5\left(1+\sqrt5\right)}2\approx 8.0901699437</math>
由此可得到大五角化十二面體其頂角約為6度，這個角為大五角化十二面體十分銳利的尖角：
:<math>\arccos(\frac{1}{10}+\frac{2}{5}\sqrt{5})\approx 0.105621899\approx 6.051\,689\,017\,91^{\circ}</math>
等腰三角形的另外兩個底角為：
:<math>\arccos(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\sqrt{5})\approx 1.51798538\approx 86.974\,155\,491\,04^{\circ}</math>

=== 二面角 ===
大五角化十二面體有兩種二面角，一種為[[等腰三角形]]的底邊與等腰三角形的底邊的二面角，另一種為等腰三角形的腰與腰的二面角。這兩種二面角的角度相等，其值為<ref name="dmccooey GreatPentakisDodecahedron"/>：
:<math>\arccos(\frac{-24+5\sqrt{5}}{41})\approx 1.88880388\approx 108.220\,490\,680\,83^{\circ}</math>

=== 頂點的組成 ===
大五角化十二面體有兩種頂點，分別為5個等腰三角形頂角的公共頂點和10個等腰三角形底角的公共頂點。其中5個等腰三角形頂角的公共頂點露在立體外部，為大五角化十二面體最明顯的12個五角化十二面體之尖角，另外12個等腰三角形底角頂點隱沒於立體內部。其中，露在立體外部的12個尖角的頂點座標為<ref name="dmccooeydata">{{Cite web|url=http://dmccooey.com/polyhedra/GreatPentakisDodecahedron.txt|title=Data of Great Pentakis Dodecahedron|publisher=dmccooey.com|access-date=2023-02-25|archive-date=2023-02-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20230225104646/http://dmccooey.com/polyhedra/GreatPentakisDodecahedron.txt|dead-url=no}}</ref>：
:<math>\left(0,\,\pm\frac{5\left(3+\sqrt5\right)}4,\,\pm\frac{5\left(1+\sqrt5\right)}4\right)</math>
:<math>\left(\pm\frac{5\left(3+\sqrt5\right)}4,\,\pm\frac{5\left(1+\sqrt5\right)}4,\,0\right)</math>
:<math>\left(\pm\frac{5\left(1+\sqrt5\right)}4,\,0,\,\pm\frac{5\left(3+\sqrt5\right)}4\right)</math>
隱沒於立體內部的12個頂點座標為<ref name="dmccooeydata"/>：
:<math>\left(0,\,\pm\frac{5-\sqrt5}4,\,\pm\frac{3\sqrt5-5}4\right)</math>
:<math>\left(\pm\frac{5-\sqrt5}4,\,\pm\frac{3\sqrt5-5}4,\,0\right)</math>
:<math>\left(\pm\frac{3\sqrt5-5}4,\,0,\,\pm\frac{5-\sqrt5}4\right)</math>

== 相關多面體 ==
[[File:Kleetope of dodecahedron.gif|thumb|right|各種五角化後的[[正十二面體]]變種連續動畫。動畫中依序展示了[[正十二面體]]（[[原像 (幾何)|原像]]）、五角化十二面體、[[菱形三十面體]]、[[小星形十二面體]]、'''大五角化十二面體'''、[[複合大三角六邊形二十面體凹五角錐十二面體]]與[[凹五角錐十二面體]]等形狀]]

在外觀上，大五角化十二面體形似在[[正十二面體]]的每個面上疊上錐高非常高的[[五角錐]]所構成的立體，依照不同的錐高可以得到不同的立體。
{| class=wikitable
!圖像
!width=150px|名稱
!加入錐體的方式
!錐高
|-
|[[Image:Stellation Fg1 of icosahedron construct by dodecahedron.png |100px]]
|[[複合大三角六邊形二十面體凹五角錐十二面體]]
|加入倒五角錐並從另外一側穿出
|
|-
|[[Image:Excavated dodecahedron constructed by dodecahedron.svg|100px]]
|[[凹五角錐十二面體]]
|加入倒五角錐
|
|-
|[[Image:Dodecahedron constructed by dodecahedron.svg|100px]]
|[[正十二面體]]
|[[原像 (幾何)|原始形狀]]
|0
|-
|[[Image:Pentakis dodecahedron constructed by dodecahedron.svg|100px]]
|[[五角化十二面體]]
|加入到能使所有二面角等角的高度
|0.251<ref name="mi.sanu.ac.rs icosahedral_polyhedra_2007_11_15">{{cite web | url=http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/zefiro1/_icosahedral_polyhedra_2007_11_15.htm | title=Description of the Forms Belonging to the 235 and m35 Icosahedral Point Groups Starting from the Pairs of Dual Polyhedra: Icosahedron-Dodecahedron and Archimedean Polyhedra-Catalan Polyhedra | author1=Livio Zefiro | author2=Maria Rosa Ardig | publisher=mi.sanu.ac.rs | access-date=2021-07-22 | archive-date=2021-05-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210506193312/http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/zefiro1/_icosahedral_polyhedra_2007_11_15.htm | dead-url=no }}</ref>
<math>\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\varphi^2}} \left(3 + \frac{1}{\varphi^2}\right)}</math>
|-
|[[Image:Rhombic triacontahedron constructed by dodecahedron.svg|100px]]
|[[菱形三十面體]]
|加入到面兩兩共面的高度
|0.425<ref name="mi.sanu.ac.rs icosahedral_polyhedra_2007_11_15"/>
<math>\frac{a}{2\sqrt{1+\frac{1}{\varphi^2}}}</math>
|-
|[[Image:Small stellated dodecahedron constructed by dodecahedron.svg|100px]]
|[[小星形十二面體]]
|
|1.37638
<math>\sqrt{\tfrac{1}{5}\left(5+2\sqrt{5}\right)}</math><ref name="MathWorld SmallStellatedDodecahedron">{{Cite MathWorld|title=Small Stellated Dodecahedron|urlname=SmallStellatedDodecahedron}}</ref>
|-
|[[Image:Great pentakis dodecahedron constructed by dodecahedron.svg|100px]]
|'''大五角化十二面體'''
|這些看似疊在正二十面體表面的錐體實際上其底面在可見的正十二面體內部構成一個[[大十二面體]]。
|
|}

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

==參考書目==
*{{Citation | last1=Wenninger | first1=Magnus | title=Dual Models | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-54325-5 |mr=730208 | year=1983}}

== 外部連結 ==
* {{mathworld | urlname = GreatPentakisDodecahedron}}

[[Category:均勻多面體對偶]]