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{{NoteTA|G1=Math}}
{{環論|交換}}
在[[抽象代數]]中，'''多項式環'''推廣了[[初等數學]]中的[[多項式]]。一個[[环 (代数)|環]] <math>R</math> 上的多項式環是由係數在 <math>R</math> 中的多項式構成的[[环 (代数)|環]]，其中的代數運算由多項式的乘法與加法定義。在[[範疇論]]的語言中，當 <math>R</math> 為交換環時，多項式環可以被刻劃為交換 <math>R</math>-[[交換環上的代數|代數]]範疇中的[[自由對象]]。

==定義==
===多項式函數與多項式===
在初等數學與[[微積分]]中，''多項式''視同''多項式函數''，兩者在一般的[[域 (數學)|域]]或[[环 (代数)|環]]上則有區別。舉例言之，考慮[[有限域]] <math>\mathbb{F}_2 := \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> 上的多項式
: <math>P(X) = X^2 + X</math>
此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在域擴張下的行為頗複雜，上述 <math>P(X)</math> 給出 <math>\mathbb{F}_2</math> 上的零函數，但視為 <math>\mathbb{F}_4</math> 上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將係數嵌入擴張域即可。

===形式定義===
於是我們採取下述定義：令 <math>R</math> 為[[环 (代数)|環]]。一個單變元 <math>X</math> 的多項式 <math>P(X)</math> 定義為下述形式化的表法：
: <math>P(X) = a_m X^m + a_{m - 1} X^{m - 1} + \cdots + a_1 X + a_0</math>
其中 <math>a_i</math> 屬於 <math>R</math>，稱作 <math>X^i</math> 的'''係數'''，而 <math>X</math> 視作一個形式符號。兩多項式相等若且唯若每個 <math>X^i</math> 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的'''領導係數'''，或者'''首項係數'''。

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列 <math>a = (a_n)_{n \geq 0}</math>，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 <math>X</math> 及其冪次表達。

==多項式的運算==
以下固定環 <math>R</math>，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。
===環結構===
多項式的加法由係數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定：
* 分配律：對所有 <math>R</math> 上的多項式 <math>P(X),Q(X),R(X)</math>，恆有
: <math>(P(X) + Q(X)) \cdot R(X) = P(X)R(X) + Q(X)R(X)</math>
: <math>R(X) \cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)</math>
* 對所有 <math>a \in R</math>，有 <math>X \, a = a\,X</math>
* 對所有非負整數 <math>k, l</math>，有 <math>X^k \cdot X^l = X^{k+l}</math>

運算的具體表法如下：
* <math>\sum_{i=0}^na_iX^i+ \sum_{i=0}^n b_iX^i=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)X^i </math>
* <math>\left(\sum_{i=0}^n a_iX^i\right)\left(\sum_{j=0}^m  b_jX^j\right)=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{\mu +\nu =k}a_{\mu} b_{\nu}\right)X^k </math>

當 <math>R</math> 是交換環時，<math>R[X]</math> 是個 <math>R</math> 上的[[交換環上的代數|代數]]。

===多項式的合成===
設 <math>P(X) = \sum a_i X^i</math> 而 <math>Q(X)</math> 為另一多項式，則可定義兩者的'''合成'''為
: <math>(P \circ Q)(X) := \sum_i a_i Q(X)^i </math>

===求值===
對於任一多項式 <math>P(X) = \sum a_i X^i</math> 及 <math>r \in R</math>，我們可考慮 <math>P(X)</math> 對 <math>r</math> 的'''求值'''：
: <math>s_r(P) := \sum_i a_i r^i</math>

固定 <math>r \in R</math>，則得到一個環同態 <math>s_r : R[X] \rightarrow R</math>，稱作求值同態；此外它還滿足
: <math>s_r(P \circ Q) = s_{s_r(Q)}(P)</math>

===導數===
在[[微積分]]中，多項式的微分由微分法則 <math>(x^k)' = kx^{k-1}</math> 確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為：
: <math>P(X) = \sum_{i=0}^n a_i X^i</math>
: <math>\Rightarrow P(X)' := \sum_{i=0}^n i a_i X^{i-1}</math>

這種導數依然滿足 <math>(PQ)' = P'Q + PQ'</math> 與 <math>(P+Q)' = P' + Q'</math> 等性質。對於係數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。

==多變元的情形==
上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環 <math>R[X_1, \ldots, X_n]</math>，也可以採下述構造：

先考慮兩個變元 <math>X, Y</math> 的例子，我們可以先構造多項式環 <math>R[X]</math>，其次構造 <math>(R[X])[Y]</math>。可以證明有自然同構 <math>(R[X])[Y] \cong R[X,Y]</math>，例如多項式 
:<math>P(X, Y)=X^2Y^2+4XY^2+5X^3-8Y^2+6XY-2Y+7 \in R[X,Y] </math>
也可以視作
:<math>(X^2+4X-8)Y^2+(6X-2)Y+(5X^3+7) \in (R[X])[Y]</math>

對 <math>(R[Y])[X]</math>亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

==性質==
* 若 ''R'' 是[[域 (數學)|域]]，則 <math>R[X]</math> 是[[主理想環]]（事實上還是個[[欧几里得整环]]）。
* 若 ''R'' 是[[唯一分解環]]，則 <math>R[X]</math> 亦然。
* 若 ''R'' 是[[整環]]，則 <math>R[X]</math> 亦然。
* 若 ''R'' 是[[諾特環]]，則 <math>R[X]</math> 亦然；這是[[希爾伯特基底定理]]的內容。
* 任一個交換環 <math>R</math> 上的有限生成[[交換環上的代數|代數]]皆可表成某個 <math>R[X_1, \ldots, X_n]</math> 的商環。

==在數學中的角色==
多項式環對[[理想 (环论)|理想]]的商是構造環的重要技術。例子包括從[[同餘|同餘系]] <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>構造[[有限域]]，或從[[實數]]構造[[复数 (数学)|複數]]等等。

[[弗羅貝尼烏斯多項式]]是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法係採用多項式的合成而非乘法。

{{ModernAlgebra}}

[[Category:交換代數|D]]
[[Category:環論|D]]
[[Category:抽象代數|D]]
[[Category:多項式|D]]