查看“︁多项式变换”︁的源代码

{{Orphan|time=2021-09-29T00:44:08+00:00}}
数学上的'''多项式变换'''是指針對一[[多项式]]，計算另一個多项式，使其[[根 (数学)|根]]是原多项式各根的[[函数]]。像{{le|契爾恩豪森轉換|Tschirnhaus transformation}}即為多项式变换，常用在[[代数方程]]求解過程中的化简。
== 舉例 ==
=== 根的平移 ===
设有多项式

: <math> P(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n} </math>

且

: <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math>

是其复数根（不必互异）。

对于任意常数{{Math|''c''}} ，以

: <math>\alpha_1+c, \ldots, \alpha_n+c</math>

为根的多项式是

: <math>Q(y) = P(y-c)= a_0(y-c)^n + a_1 (y-c)^{n-1} + \cdots + a_{n}. </math>

如果{{Math|''P''}}的系数为[[整数]]，且常数<math>c=\frac{p}{q}</math>是[[有理数]]，那么{{Math|''Q''}}系数可能不是整数，而多项式{{Math|''c''<sup>''n''</sup> ''Q''}}仍具有整数系数，并且与{{Math|''Q''}}同根。

特别，若<math>{\displaystyle c = \frac{a_1}{na_0}}</math>，得到的多项式''Q''会缺少<math>y^{n-1}</math>项。

=== 根的倒数 ===
设有多项式

: <math> P(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n} </math>

以''P''之根倒数为根的多项式是''P''的{{le|倒数多项式|Reciprocal polynomial}}：

: <math> Q(y)= y^nP\left(\frac{1}{y}\right)= a_ny^n + a_{n-1} y^{n-1} + \cdots + a_{0}.</math>

=== 根的缩放 ===
设有多项式

: <math> P(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n} </math>

且''c''为非零常数。以''P''之根乘以''c''的积为根的多项式是

: <math>Q(y)=c^nP\left(\frac{y}{c} \right) = a_0y^n + a_1 cy^{n-1} + \cdots + a_{n}c^n. </math>

这里出现了因子<math>c^n</math>，是因为如果''c''与''P''的系数都属于整数或者某个[[整环]]，那么''Q''的系数也會有相同的特性。

特别地，如果<math>c=a_0</math>，那么''Q''的所有系数就都是''c''的倍数，而''Q''/''c''是一个[[首一多项式]]，其系数属于任何同时包含了''c''与''P''的各系数的整环。这个多项式变换常常可以用来把化简[[代數數|代数数]]的问题化约成[[代數整數|代数整数]]的问题。

把此变换与把根平移<math>\frac{a_1}{na_0}</math>的变换组合起来，可以化约任何关于多项式的根的问题，比如把[[求根算法|求根]]化简为对于更简单的首一且不含''n-1''次方项的多项式的类似问题。

== 通过有理函数的变换 ==
前面的所有例子都是通过[[有理函数]]进行的多项式变换，这也称为契爾恩豪森轉換。设有有理函数

: <math>f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}</math>

其中g和h是[[互质]]的多项式。多项式Q的根是P的根在f作用下的像，则称多项式P在f作用下的多项式变换是多项式Q（最多可以相差一个非零常数）。

这样的多项式变换可以按[[結式]]计算。要求多项式Q，只须求复数y，使得存在复数x同时满足（如果P，g和h的系数不是实数或者不是复数，那么这里的“复数”要替换成“含有输入的各多项式之系数的[[代數閉域]]中的元素”）

: <math>\begin{align}
P(x)&=0\\
y\,h(x)-g(x)&=0\,.
\end{align}
</math>

这正是下列结式的定义：

: <math>\operatorname{Res}_x(y\,h(x)-g(x),P(x)).</math>

这通常很难手动计算。不过大多数[[計算機代數系統]]都有内置函数来计算结式。

=== 性质 ===
若多项式{{Math|''P''}}[[不可约多项式|不可约]]，那么得到的多项式{{Math|''Q''}}的结果要么不可约，要么是不可约多项式的幂。设<math>\alpha</math>是{{Math|''P''}}的根，且<math>\alpha</math>生成了[[域扩张]]{{Math|''L''}}；那么，前一种情况就意味着<math>f(\alpha)</math>是{{Math|''L''}}的[[单扩张|本原元]]，而{{Math|''Q''}}是{{Math|''L''}}的{{le|最小多项式 (数学场)|Minimal polynomial (field theory)|最小多项式}}；而在后一种情况下， <math>f(\alpha)</math>属于{{Math|''L''}}的一个子域，而它的最小多项式是以{{Math|''Q''}}为幂的不可约多项式。

== 用于求解方程的变换 ==
有些情形下，多项式变换可以用根式简化多项式的求解。笛卡尔对d阶多项式引入变换，用根的平移消除d-1阶项。这样操作后的多项式称为压缩多项式（depressed polynomial）。对于用平方根解二次式，这已经足够了。在立方式的情况下，契爾恩豪森轉換要用二次函数替换原来的自变量，从而消除其中两项，进而可以消除线性项，得到一个压缩的立方式，从而可以用平方根和立方根的组合给出原立方式的解。而在Bring-Jerrard变换的变换函数是四次的，可以把五次项变成Bring-Jerrard标准形式（[[布靈根式]]），只含有5次、1次和0次项。

== 参考 ==
* {{Cite journal|title=Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard|url=http://www.sigsam.org/bulletin/articles/145/Adamchik.pdf|last=Adamchik|first=Victor S.|last2=Jeffrey|first2=David J.|journal=SIGSAM Bull.|year=2003|volume=37|pages=90–94|zbl=1055.65063|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090226035637/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/145/Adamchik.pdf|archivedate=2009-02-26|number=3}}
[[Category:代数]]