查看“︁多重排列与多重全排列”︁的源代码

{{citecheck|time=2017-03-14T03:45:15+00:00}}
多重排列与多重全排列是[[组合数学]]中的常见的两个排列模型，具有广泛的应用场景。尽管多重排列与多重全排列仅有一字之差，但是具有完全不同的实际意义。

== 定义 ==

=== 多重排列定义 ===
设[[多重集]]的几何大小为<math>n</math>，取其中的<math>m</math>个数进行排列，即为多重排列。设多重集内元素细节为<math>r_1</math>个<math>x_1</math>，<math>r_2</math>个<math>x_2</math>，...，<math>r_k</math>个<math>x_k</math>，则可记为<math>P(m;r_1+r_2+...+r_k=n)</math>.

=== 多重全排列定义 ===
有<math>r_1</math>个<math>x_1</math>，<math>r_2</math>个<math>x_2</math>，...，<math>r_k</math>个<math>x_k</math>个数，其中<math>r_1+r_2+...+r_k=n</math>，对这样的<math>n</math>个数所求的排列，即为多重全排列，记为<math>P(n;r_1,r_2,...,r_k)</math>或<math>\binom{n}{r_1  \quad r_2\quad  ... \quad r_k}</math>。

== 计算方法 ==

=== 多重排列计算方法 ===
枚举法：小范围的多重排列采用分类枚举方法即可得出正确结果。

=== 多重全排列计算方法 ===
<math>P(n;r_1,r_2,...,r_k)\centerdot r_1 ! \centerdot r_2 ! \centerdot ... \centerdot r_k !=n!</math>

<math>\Longrightarrow  P(n;r_{1},r_{2},...,r_{k})=\frac{n!}{r_{1}!\centerdot r_{2}!\centerdot ...\centerdot r_{k}!}</math>

即<math>\binom{n}{r_1  \quad r_2\quad  ... \quad r_k}={\frac {n!}{r_{1}!\centerdot r_{2}!\centerdot ...\centerdot r_{k}!}}</math>

== 举例 ==

=== 举例：多重排列 ===
某校举办运动会，计算机系派出代表人数分布如下：人智所有3个人报名，高性能所有2个人报名，软件所有4名同学报名（ps:认为同一所的同学无差别，仅代表研究所内一个成员），共有8个完全不同的个人单项项目，计算机系需要选择其中的8个人代表院系参加比赛（每人必须参加一项，且不能超过一项），报名的三个所至少每个所获得一个参赛名额，问共有多少种排列方案？

'''解：'''

大类一： <math>\tfrac{8!}{3! \centerdot 1! \centerdot 4!}=280</math>

大类二： <math>\tfrac{8!}{3! \centerdot 2! \centerdot 3!}=560</math>

大类三： <math>\tfrac{8!}{2! \centerdot 2! \centerdot 4!}=420</math>

总计： <math>280+560+420=1260</math>

=== 举例：多重全排列 ===
某校举办运动会，计算机系派出代表人数分布如下：网络所有3名同学报名，软件所有4名同学报名，人智所有3个人报名，高性能所有2个人报名（ps:认为同一所的同学无差别，仅代表研究所内一个成员），共有12个完全不同的个人单项项目，每人必须参加一项，且不能超过一项，问共有多少种排列方案？

'''解：'''

设排列方案为<math>ans</math>，则                            

<math>ans=\tfrac{12!}{3! \centerdot 4! \centerdot 3! \centerdot 2!}=277200</math>