查看“︁多重对数函数”︁的源代码

{{expert|time=2011-01-08T08:50:46+00:00}}
'''多重对数函数'''（{{lang-en|'''polylogarithm'''}}，也称：{{lang|en|'''Jonquière's function'''}}）是[[数学]]中一种特殊的[[幂级数]]，定义为：

:<math>\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}.</math>

一般来说，多重对数函数不像[[对数函数]]那样是一个初等函数。上述定义中，[[自变量]]|''z''| < 1，''s''对所有[[复数 (数学)|复数]]值有效。通过[[解析延拓]]，可以将''z''的定义域扩展到更大的范围。

{| style="text-align:center"
|+ '''复平面上几种不同的多重对数函数'''
|[[Image:Complex polylogminus3.jpg|100px|none]]
|[[Image:Complex polylogminus2.jpg|100px|none]]
|[[Image:Complex polylogminus1.jpg|100px|none]]
|[[Image:Complex polylog0.jpg|100px|none]]
|[[Image:Complex polylog1.jpg|100px|none]]
|[[Image:Complex polylog2.jpg|100px|none]]
|[[Image:Complex polylog3.jpg|100px|none]]
|-
|<math>
\operatorname{Li}_{-3}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{-2}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{-1}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{0}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{1}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{2}(z)
</math>
|<math>
\operatorname{Li}_{3}(z)
</math>
|}

s = 1時的多重对数函数可以用[[自然對數]]表示（Li<sub>1</sub>(''z'') = −ln(1−''z'')），''s'' = 2和3的多重对数函数分別稱為dilogarithm及trilogarithm，其名稱的由來是多重对数函数表示為以下的遞迴積分式：

:<math>
\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t.
</math>

因此''s'' = 2的多重对数函数可表示為自然對數的積分，以此類推。若其階數''s''為零或負的整數，其多重对数函数為[[有理函數]]。

多重对数函数出現在[[费米-狄拉克统计|费米-狄拉克分佈]]及[[玻色-爱因斯坦统计|玻色-爱因斯坦分佈]][[解析解]]的積分式中，因此也稱為'''费米-狄拉克積分'''或'''玻色-爱因斯坦積分'''。

== 外部链接 ==
* {{mathworld | urlname= Polylogarithm | title= Polylogarithm}}
* {{mathworld | urlname= Dilogarithm | title= Dilogarithm}}
* [https://launchpad.net/anant Algorithms in Analytic Number Theory] {{Wayback|url=https://launchpad.net/anant |date=20200717104245 }} provides an arbitrary-precision, [[GNU多重精度运算库]]-based, [[GNU通用公共许可证|GPL]]-licensed implementation.

[[Category:特殊函数]]
[[Category:Ζ函數與L函數]]
[[Category:有理函数]]