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[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|多邊形的分類。由左至右分別為：三角形、矩形、凹多邊形和[[複雜多邊形]]。]]
'''多邊形，'''是[[平面 (数学)|平面]]上封閉的[[幾何圖形]]，或者说是由2条以上在同一平面的[[線段]]首尾相连組成的[[形状]]。

== 術語 ==
;[[頂點 (幾何)|頂点]]
指多邊形中任何兩邊相交所形成的交點或錐體的尖頂。
;[[邊 (幾何)|边]]
;内角 :頂點相鄰的兩邊所組成的角度。n邊形的內角和為<math>(n-2)\times 180^ \circ</math>
;外角 :對於某內角來說，其相應的外角角度為''180°减去內角角度''，多邊形的所有外角之和恆等於360°。
;[[對角線]] :以不毗連頂點為端點的線段

== 分類 ==

=== 簡單多邊形 ===
簡單多邊形是邊不相交的多邊形，又稱佐敦多邊形，因為[[佐敦曲線定理]]可以用來證明這樣的多邊形能將平面分成兩個區域，即區內和區外。

在[[拓扑学]]上，簡單多邊形和圆盘[[同胚]]。

在[[計算幾何學]]有幾個重要問題，其輸入都是簡單多邊形：
* 點在多邊形內：決定一點是否在多邊形內
* 求[[多邊形面積]]
* 將多邊型切割成三角形

按[[凸性]]区分，簡單多邊形分[[凸多邊形]]和[[凹多邊形]]，「凸」的表示它的內角都不大於180°，凹反之。

其他的特殊多边形还有：
:'''[[圆内接多边形]]'''：[[頂點 (幾何)|顶点]]都在同一个圆上的多边形。
:'''[[圆外切多边形]]'''：[[邊 (幾何)|边]]都跟同一個圆相切的多边形。
:'''[[等边多边形]]'''：各边之长都相等的多边形。
:'''[[等角多边形]]'''：各内角都相等的多边形。

=== 正多邊形 ===
{{Main|正多邊形}}
正多邊形是各邊都等長，各内角都相等的多邊形，可分为两种：'''凸正多边形'''与'''凹正多边形'''。谈及“正多邊形”时一般指前者，后者一般称作[[正多角星]]。对于指定的边数，它们都是唯一的，比如正[[五边形]]与正[[五角星]]。在邊數相同、周長相等的多邊形中，凸正多边形面積最大（参见[[等周问题]] ）。

当且仅当边数是2的[[冪]]乘[[費馬質數]]時，正多邊形可以用[[尺规作图|尺規]]作出（參見[[可作圖多邊形]]）。

* 面積：<math> A \ = \ \frac{n}{2}\, a\, r_i \ = \ 
 \frac{n}{2}\, r_u^2 \, \sin { \frac{2 \pi }{n}} \ = \ 
\frac{1}{4} n a^2 \cot \frac{180^\circ}{n}
</math>

* 內切圓半徑：<math>\frac{a}{2} \cot \frac{180^\circ}{n}</math>

* 外接圓半徑：<math>\frac{a}{2 \sin \frac{180^\circ}{n}}</math>

== 公式 ==
=== 面积 ===
对用<math>(x_1,y_1), (x_2,y_2), \dots , (x_n,y_n)</math>（按逆时针排列）描述的多边形，其面积为：
<br />
:<math>A = \frac{1}{2} \left( \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{vmatrix} + \dots + \begin{vmatrix} x_n & y_n \\ x_1 & y_1 \end{vmatrix} \right)</math>
<br />
若按顺时针排列，取负数即可。
<br />
对用边长<math>a_1, a_2, \dots , a_n</math>和外角<math>\theta_1, \theta_2, \dots ,\theta_n</math>描述的多边形，其面积为：
<br />
:<math>\begin{align}A = \frac12 \{ a_1[a_2 \sin(\theta_1) + a_3 \sin(\theta_1 + \theta_2) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + a_2[a_3 \sin(\theta_2) + a_4 \sin(\theta_2 + \theta_3) + \cdots + a_{n-1} \sin(\theta_2 + \cdots + \theta_{n-2})] \\
{} + \cdots + a_{n-2}[a_{n-1} \sin(\theta_{n-2})] \} \end{align}</math>
<br />
用边长和内角描述如下
<br />
N边形<math>S=\frac { \sum { ( -1 ) ^ { k } m n \sin { \theta } } } { 2 }</math>这个代表N边形已知<math>N-1</math>个边的长度，而且知道其中任意两边的夹角，对于这两边<math>(-1)^{k} m n \sin{\theta}</math>求和后的一半便是面积 
<br />
注明：<math>K=0</math>或1，目的是为了表明每个因式<math>m n \sin{\theta}</math>的正负号与<math>M</math>，<math>N</math>的交点位置有关

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 參見 ==
{{Portal box|数学}}
* [[多面體]]
* [[退化多邊形]]

== 外部链接 ==
{{Wiktionary|polygon}}
{{Commons category|Polygons}}
*{{MathWorld |urlname=Polygon |title=Polygon}}
*[https://web.archive.org/web/20050212114016/http://members.aol.com/Polycell/what.html What Are Polyhedra?], with Greek Numerical Prefixes
*[http://www.mathopenref.com/tocs/polygontoc.html Polygons, types of polygons, and polygon properties]{{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/tocs/polygontoc.html |date=20110820224931 }}, with interactive animation
*[https://web.archive.org/web/20080412002923/http://herbert.gandraxa.com/herbert/dop.asp How to draw monochrome orthogonal polygons on screens], by Herbert Glarner
*[https://web.archive.org/web/20110213142130/http://www.faqs.org/faqs/graphics/algorithms-faq/ comp.graphics.algorithms Frequently Asked Questions], solutions to mathematical problems computing 2D and 3D polygons
*[https://web.archive.org/web/20110720075903/http://www.complex-a5.ru/polyboolean/comp.html Comparison of the different algorithms for Polygon Boolean operations], compares capabilities, speed and numerical robustness
*[http://dynamicmathematicslearning.com/star_pentagon.html Interior angle sum of polygons: a general formula] {{Wayback|url=http://dynamicmathematicslearning.com/star_pentagon.html |date=20200729044801 }}, Provides an interactive Java investigation that extends the interior angle sum formula for simple closed polygons to include crossed (complex) polygons
*[ http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/106(396-405)/398-PDF/13-24_105032-%E9%A0%90%E6%B8%AC%E8%88%87%E9%A9%97%E8%AD%89%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%B8%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F(I)%20(%E4%BF%AE%E6%94%B9).pdf {{Wayback|url=http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/106(396-405)/398-PDF/13-24_105032-%E9%A0%90%E6%B8%AC%E8%88%87%E9%A9%97%E8%AD%89%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%B8%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F(I)%20(%E4%BF%AE%E6%94%B9).pdf |date=20210108190008 }}], To predict and verify the area formula of planar convex polygon (I), by Hui-Pin Lee. Science Education Monthly No. 398, May 2017 , NTNU.
*[http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/106(396-405)/399-PDF/12-23_105032-%E9%A0%90%E6%B8%AC%E8%88%87%E9%A9%97%E8%AD%89%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%B8%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F(II)%20(%E4%BF%AE%E6%94%B9).pdf] {{Wayback|url=http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/106(396-405)/399-PDF/12-23_105032-%E9%A0%90%E6%B8%AC%E8%88%87%E9%A9%97%E8%AD%89%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%B8%E5%A4%9A%E9%82%8A%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%85%AC%E5%BC%8F(II)%20(%E4%BF%AE%E6%94%B9).pdf |date=20210108190010 }}, To predict and verify the area formula of planar convex polygon (II), by Hui-Pin Lee. Science Education Monthly No. 399, June 2017 , NTNU.

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