查看“︁多極展開”︁的源代码

在[[物理學]]裏，'''多極展開'''（{{lang-en|Multipole expansion}}）廣泛應用於涉及於[[質量]]分佈產生的[[重力場]]、[[電荷]]分佈產生的[[電勢]]或[[電場]]、[[電流]]分佈產生的[[磁向量勢]]和[[磁場]]、[[電磁波]]的傳播的問題。使用多極展開，重力場或電勢等等，都可以表達為單極項、偶極項、四極項、八極項及更多項的疊加。一個典型的例如是，從[[原子核]]的[[球多極矩#點電荷案例|外部多極矩]]與[[電子]][[軌域]]的[[球多極矩#點電荷案例|內部多極矩]]之間的交互作用能量，計算求得[[原子]]的原子核外多極矩。原子核的外多極矩可以得出原子核內部的電荷分佈，因為物理學家可以藉此研究原子核的形狀。

做理論運算時，在允許的誤差範圍內，時常可以只取多極展開的最低階的幾個非零項目，忽略其它項目，因為它們的數值極小。

==電勢的多極展開式==
[[Image:Source_and_Destination02.jpg|right|thumb|250px|給予在源位置 <math>\mathbf{r}'</math> 的電荷分佈或電流分佈，計算在場位置 <math>\mathbf{r}</math> 產生的電勢或磁向量勢。]]
在靜電學裏，設定電荷密度分佈 <math>\rho(\mathbf{r}')</math> ，則其產生的電勢 <math>\Phi(\mathbf{r})</math> 為
:<math>\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V'}} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}</math> 是場位置，<math>\mathbf{r}'</math> 是源位置，<math>\mathbb{V'}</math> 是積分的體積區域。

假設體積區域 <math>\mathbb{V'}</math> 是在以原點為圓心、半徑為 <math>R</math> 的圓球內部，則在圓球以外，電勢 <math>\Phi(\mathbf{r})</math> 可以多極展開。文獻裏常見到兩種電勢的多極展開方法。一種展開為[[直角坐標]] <math>(x,y,z)</math> 的[[泰勒級數]]，稱為「笛卡兒多極展開」（{{lang|en|Cartesian multipole expansion}}）；另一種是用距離[[倒數]]的[[冪]]和[[球諧函數]]展開，是以[[球坐標]]表示，稱為「球多極展開」（{{lang|en|spherical multipole expansion}}）。

===笛卡兒多極展開===
任意函數 <math>f(\mathbf{r}')</math> 在[[原點]] <math>\mathbf{r}'=\mathbf{O}</math> 的[[泰勒級數]]為
:<math>f(\mathbf{r}')=f(\mathbf{O})+\mathbf{r}'\cdot\nabla' f(\mathbf{O})+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 r'_{\alpha}r'_{\beta} \frac{\partial^2  f(\mathbf{O})}{\partial r'_{\alpha}\partial r'_{\beta}}+\dots</math> ；

其中，<math>\nabla'</math> 是對於 <math>\mathbf{r}'</math> 的偏微分。

設定 <math>f(\mathbf{r}')=\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}</math> ，則 <math>f(\mathbf{r}')</math> 對於 <math>\mathbf{r}'</math> 的偏微分為
:<math>\frac{\partial f(\mathbf{r}')}{\partial r'_{\alpha}}=\frac{(r_{\alpha} - r'_{\alpha})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}</math> 、
:<math>\frac{\partial^2  f(\mathbf{r}')}{\partial r'_{\alpha}\partial  r'_{\beta}}= \frac{3(r_{\alpha} - r'_{\alpha})(r_{\beta} - r'_{\beta})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^5} - \frac{\delta_{\alpha\beta}}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}</math> ；

其中，<math>\delta_{\alpha\beta}</math> 是[[克罗内克记号]]。

所以 <math>\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}</math> 在原點 <math>\mathbf{r}'=\mathbf{O}</math> 的泰勒級數為
:<math>\begin{align} \frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} & =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3  \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}}{r^5} - \frac{\delta_{\alpha\beta}}{r^3}\right)r'_{\alpha}r'_{\beta} +\dots  \\
 & =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3  \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}r'_{\alpha}r'_{\beta} - r^2r'_{\alpha}r'_{\beta}\delta_{\alpha\beta}}{r^5}\right) +\dots \\
 & =\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1} ^3  \left(\frac{3r_{\alpha}r_{\beta}r'_{\alpha}r'_{\beta} - r_{\alpha}r_{\beta}r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta}}{r^5}\right) +\dots \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

將這展開式代入電勢的方程式，則可得到
:<math>\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V'}}
\left[\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3\sum_{\beta=1}^3 \frac{r_\alpha r_\beta  (3 r'_\alpha r'_\beta -  r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta})}{r^5}+\dots\right] \rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' </math> 。

總[[電荷]]（電單極矩） <math>q</math> 、[[電偶極矩]] <math>\mathbf{p}</math> 、[[電四極矩]]（{{lang|en|
electric quadrupole moment}}） <math>Q_{\alpha\beta}</math> 分別以方程式定義為<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 111, 145-151|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>
:<math>q\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' </math> 、
:<math>\mathbf{p}\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}\mathbf{r}'\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' </math> 、
:<math>Q_{\alpha\beta}\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}(3 r'_\alpha r'_\beta -  r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta})\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' </math> 。

則電勢的電單極矩、電偶極矩、電四極矩等等「笛卡兒多極矩」項目的總貢獻為
:<math>\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q}{r}+\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}
+\frac{1}{2r^5}\sum_{\alpha=1}^3\sum_{\beta=1}^3 Q_{\alpha\beta}r_\alpha r_\beta +\dots\right)</math> 。

===球多極展開===
場位置與源位置之間距離的[[倒數]]，<math>\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}</math> ，可以用[[球諧函數]] <math>Y_{\ell m}</math> 展開為<ref name=Jackson1999 />
:<math>\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}=\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell}\frac{4\pi}{2\ell+1}\ \frac{r^{\prime\ell}}{r^{\ell+1}}Y^*_{\ell m}(\theta',\phi')Y_{\ell m}(\theta,\phi),\qquad r'<r</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}</math> 與 <math>\mathbf{r}'</math> 的[[球坐標]]分別為<math>(r,\theta,\phi)</math> 與 <math>(r',\theta',\phi')</math> 。

將這展開式代入電勢的方程式，則可得到
:<math>\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{Y_{\ell m}(\theta,\phi)}{((2\ell+1)r^{\ell+1}}  \int_{\mathbb{V'}}Y^*_{\ell m}(\theta',\phi') r^{\prime\ell}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' </math> 。

電荷分佈的[[球多極矩]] <math>q_{\ell m}</math> 以方程式定義為
:<math>q_{\ell m}\stackrel{def}{=}\ \int_{\mathbb{V'}}Y^*_{\ell m}(\theta',\phi') r^{\prime\ell}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' </math> 。

則電勢可以以球多極矩表示為
:<math>\Phi(\mathbf{r})=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta,\phi)}{(2\ell+1)r^{\ell+1}}  </math> 。

注意到 <math>q_{\ell (-m)}=(-1)^m q^*_{\ell m}</math> 。以下列出幾個最低階的球多極矩的表達式，以及與笛卡兒多極矩之間的關係<ref name=Jackson1999/>：
:<math>\begin{align}
 q_{00} & =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\int_{\mathbb{V'}}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'
              &  & =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\ q \\
 q_{11} & = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r' \sin{\theta'}\ e^{-i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  & = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\ (p_x - ip_y) \\
 q_{10} & =\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r' \cos{\theta}\ \rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  &  = -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\ p_z \\
 q_{22} & =\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2} \sin^2{\theta'}\ e^{-2i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  &  =\sqrt{\frac{15}{288\pi}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22})  \\
q_{21} & = - \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2} \sin{\theta'}\cos{\theta'}\ e^{-i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  &  = - \sqrt{\frac{15}{72\pi}}\ (Q_{13}-iQ_{33}) \\
 q_{20} & =\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2}(3\cos^2{\theta'}-1)\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  &  =\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\ Q_{33}
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

===多極展開式的特性===
對於多極展開式的每一階 <math>\ell</math> ，笛卡兒多極展開會得到 <math>(\ell+1)(\ell+2)/2</math> 個笛卡兒多極矩，而球多極展開會得到 <math>2\ell+1</math> 個球多極矩。這是因為兩種展開各自具有不同的旋轉變換屬性。笛卡兒多極矩是[[可約的]]（{{lang|en|reducible}}）；而球多極矩則是不可約的，這種分解能夠得到[[旋轉群]]的[[不可約表示]]。

在多極展開式裏，不等於零的最低階多極矩，其數值與原點的選擇無關。例如，對於在 <math>\mathbb{V'}</math> 內部、位置為 <math>\mathbf{r}'_0</math> 的單獨點電荷，電荷密度可以寫為 <math>\rho(\mathbf{r}')=q\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_0)</math> 。這單獨點電荷的電單極矩為 <math> \int_{\mathbb{V'}}q\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_0)\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' =q</math> ，與原點位置無關。 

對於在 <math>\mathbb{V'}</math> 內部、位置分別為 <math>\mathbf{r}'_1</math> 、<math>\mathbf{r}'_2</math> 的兩個異電性、同電量的點電荷，電荷密度可以寫為 <math>\rho(\mathbf{r}')=q[\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_1)-\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_2)]</math> 。這單獨點電荷的電單極矩為 <math> \int_{\mathbb{V'}}q[\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_1)-\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_2)]\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' =0</math> 。最低階多極矩為電偶極矩 <math> \int_{\mathbb{V'}}\mathbf{r}'q[\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_1)-\delta(\mathbf{r}'-\mathbf{r}'_2)]\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' =q(\mathbf{r}'_1-\mathbf{r}'_2)</math> 。這電偶極矩與原點位置無關，與兩個點電荷之間的相對位置有關。

==電能的多極展開式==
假設處於外電勢 <math>\Phi(\mathbf{r})</math> 的電荷密度分佈 <math>\rho(\mathbf{r})</math> ，則其[[電能]] <math>U</math> 為
:<math>U=\int_{\mathbb{V}} \rho(\mathbf{r})\Phi(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}</math> 。

注意到[[外電場]] <math>\mathbf{E}=-\nabla\Phi</math> ，外電勢 <math>\Phi(\mathbf{r})</math> 在原點 <math>\mathbf{O}</math> 的泰勒級數為
:<math>\begin{align} \Phi(\mathbf{r}) & =\Phi(\mathbf{O})+\mathbf{r}\cdot\nabla\Phi(\mathbf{O})+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 r_{\alpha}r_{\beta} \frac{\partial^2  \Phi(\mathbf{O})}{\partial r_{\alpha}\partial r_{\beta}}+\dots  \\
 & =\Phi(\mathbf{O})-\mathbf{r}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{O})-\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 r_{\alpha}r_{\beta} \frac{\partial  E_{\beta}(\mathbf{O})}{\partial r_{\alpha}}+\dots  \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

由於外電場的[[散度]]為零 <math>\nabla\cdot\mathbf{E}=0</math> ，電勢可以寫為
:<math>\Phi(\mathbf{r})=\Phi(\mathbf{O})-\mathbf{r}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{O})-\frac{1}{6}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 (3r_{\alpha}r_{\beta}-r^2\delta_{\alpha\beta}) \frac{\partial  E_{\beta}(\mathbf{O})}{\partial r_{\alpha}}+\dots</math> 。

將這方程式代入電能的積分式，可以得到
:<math>U=q\Phi(\mathbf{O})-\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{O})-\frac{1}{6}\sum_{\alpha=1}^3 \sum_{\beta=1}^3 Q_{\alpha\beta} \frac{\partial  E_{\beta}(\mathbf{O})}{\partial r_{\alpha}}+\dots</math> 。

從這裏可以看到電能的成分：第一個項目是點電荷處於外電勢的電能、第二個項目是電偶極子處於外電場的電能、第三個項目是電四極子處於具有[[梯度]]的外電場所涉及的電能。

==磁向量勢的多極展開式==
在[[靜磁學]]裏，設定電流密度分佈 <math>\mathbf{J}(\mathbf{r}')</math> ，則其產生的磁向量勢 <math>\mathbf{A}(\mathbf{r})</math> 為
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\  \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'</math> ；

其中，<math>\mathbf{r}</math> 是場位置，<math>\mathbf{r}'</math> 是源位置。

將前面推導出的 <math>\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}</math> 在原點 <math>\mathbf{r}'=\mathbf{O}</math> 的泰勒級數帶入磁向量勢方程式，則可得到
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V'}}
\left[\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}
+\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^3\sum_{\beta=1}^3 \frac{r_\alpha r_\beta  (3 r'_\alpha r'_\beta -  r^{\prime 2}\delta_{\alpha\beta})}{r^5}+\dots\right] \mathbf{J}(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' </math> 。

由於在靜磁學裏 <math>\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')=0</math>，
:<math>\begin{align}\int_{\mathbb{V}'}J_{\alpha}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}'   & =\int_{\mathbb{V}'}[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']r'_{\alpha}\, d^3\mathbf{r}'
=\int_{\mathbb{V}'}\nabla'\cdot[r'_{\alpha}\mathbf{J}(\mathbf{r}')]-r'_{\alpha}\nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' \\
 & =\int_{\mathbb{V}'}\nabla'\cdot[r'_{\alpha}\mathbf{J}(\mathbf{r}')]\, d^3\mathbf{r}' \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">；</span>
 
應用[[高斯散度定理]]，由於電流密度分佈 <math>\mathbf{J}</math> 是局部的，假若積分體積 <math>\mathbb{V}'</math> 足夠大，則位於包含積分體積的曲面 <math>\mathbb{S}'</math> 的電流密度分佈為零：
:<math>\int_{\mathbb{V}'}J_{\alpha}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}'
=\int_{\mathbb{S}'}r'_{\alpha}\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\, d\mathbf{S}'=0 </math> 。

所以，磁單極子項目 <math>\int_{\mathbb{V}'}J_{\alpha}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}'</math> 等於零。

磁偶極子項目不等於零。首先，應用高斯散度定理和電流密度分佈的局部性這事實，可以得到
:<math>\begin{align}
\int_{\mathbb{V}'}\nabla'\cdot[r'_{\alpha}r'_{\beta}J(\mathbf{r}')]\, d^3\mathbf{r}' & 
=\int_{\mathbb{V}'}r'_{\beta}[J(\mathbf{r}')\cdot\nabla']r'_{\alpha}
+r'_{\alpha}[J(\mathbf{r}')\cdot\nabla']r'_{\beta}
+r'_{\alpha}r'_{\beta}\nabla'\cdot J(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' \\
 & =\int_{\mathbb{V}'}r'_{\beta}J_{\alpha}(\mathbf{r}')+r'_{\alpha}J_{\beta}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}' \\
 & = 0 \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

注意到以下關係式：
:<math>\begin{align}
\mathbf{r}\cdot\int_{\mathbb{V'}}\mathbf{r}'J_{\alpha}(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
 & = \frac{1}{2}\sum_{\beta=1}^3 r_{\beta}\int_{\mathbb{V'}}r'_{\beta}J_{\alpha}(\mathbf{r}')-r'_{\alpha}J_{\beta}(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' \\
 & = -\ \frac{1}{2}\left[\mathbf{r}\times\int_{\mathbb{V'}}
\mathbf{r}'\times\mathbf{J}(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'\right]_{\alpha}  \\
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

定義磁偶極矩 <math>\mathbf{m}</math> 為
:<math>\mathbf{m}\stackrel{def}{=}\ \frac{1}{2}\int_{\mathbb{V}'}\mathbf{r}'\times \mathbf{J}(\mathbf{r}')\, d^3\mathbf{r}'</math> 。

只取至最低階項目，即磁偶極矩項目，則磁向量勢 <math>\mathbf{A}(\mathbf{r})</math> 為
:<math>\mathbf{A}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}</math> 。

==數值模擬==
多極展開在[[计算机模拟|數值模擬]]領域用途很多。對於相互作用的粒子組成的物理系統，[[快速多極法]]（{{lang|en|fast multipole method}}）是高效率運算這系統的能量與作用力常使用的一種方法<ref>{{cite web|url=http://www-theor.ch.cam.ac.uk/people/ross/thesis/node97.html|title=The Fast Multipole Method|author=Ross D. Adamson|date=January 21, 1999|accessdate=December 10, 2010|archive-date=2011-06-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20110603231158/http://www-theor.ch.cam.ac.uk/people/ross/thesis/node97.html|dead-url=no}}</ref>。快速多極法就是建構於[[格林函數]]的多極展開。這方法的基本點子是分解所有粒子為幾個小群，每一個小群內的粒子正常地互相作用（即通過全部勢能），而小群與小群之間的互相作用則是由其多極矩計算求得。快速多極矩法的效率通常與[[伊沃德求和法]]（{{lang|en|Ewald summation}}）等同，但是假若系統的粒子具有高度群聚性，即高密度漲落，則快速多極矩法比較優等。

==參閱==
* [[圓柱多極矩]]（{{lang|en|cylindrical multipole moment}}）
* [[四極磁鐵]]（{{lang|en|quadrupole magnet}}）：粒子加速器內部的一個配件
* [[拉普拉斯展開（位勢論）]]（{{lang|en|Laplace expansion (potential)}}）
* [[勒讓德多項式]]

==參考文獻==
{{reflist|2}}

{{DEFAULTSORT:D}}
[[Category:位勢論]]
[[Category:向量分析]]