查看“︁多普勒测量”︁的源代码

'''多普勒测量'''（{{Lang-en|Doppler measurement}}）是通过观测[[无线电波]]的[[多普勒频移]]来确定两点间的相对[[速度]]或距离差的测量方式，后者又称'''距离差测量'''。<ref name=":022">{{cite book|author1=李征航|author2=魏二虎|author3=王正涛|author4=彭碧波|title=空间大地测量学|publisher=武汉大学出版社|ISBN=978-7-30-707574-0|last=|first=|year=|isbn=|location=|pages=271-274}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|chapter=|url=https://www.degruyter.com/view/title/12128|publisher=De Gruyter|date=2008-08-22|isbn=978-3-11-020008-9|language=en|first=Günter|last=Seeber|title=Satellite Geodesy: Foundations, Methods, and Applications|year=|location=|pages=181-186}}</ref>多普勒测量可应用于[[多普勒雷达]]、[[激光多普勒测速仪]]等各种场合，亦可应用于[[卫星导航系统]]中测定[[人造卫星|卫星]]或测站的位置（即[[多普勒定位]]）和速度<ref>{{Cite web|title=Chapter VI SATELLITE GEODESY|url=https://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/Geodesy4Layman/TR80003D.HTM|accessdate=2020-04-23|author=|date=|format=|work=www.ngs.noaa.gov|publisher=|language=|archive-date=2014-03-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20140318155508/http://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/Geodesy4Layman/TR80003D.HTM|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite journal|title=卫星多普勒测量的概况与发展|author=王跃虎|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-CHXG197903003.htm|journal=武测资料|issue=03|doi=|others=|year=1979|volume=|page=|pmid=}}{{Dead link}}</ref>。

== 多普勒测速 ==

=== 多普勒效应 ===
{{Main|多普勒效应|相对论性多普勒效应}}
在[[相对论]]框架下，[[相对论性多普勒效应|多普勒效应]]可表达成如下形式：<ref name=":0" />{{Rp|183}}

: <math>\frac{f_r}{f_s}=\frac{1-v/c\cdot\cos\theta}{\sqrt{1-(v/c)^2}} </math>

其中，各个量所代表的含义为

* <math>f_r</math> 是电磁波的接收频率 
* <math>f_s</math> 是电磁波的发射频率  
* <math>v</math> 是发射者 <math>S</math> 相对于接收者 <math>P</math> 的速度 
* <math>\theta</math> 是该速度方向相对于 <math>\begin{smallmatrix}\vec{SP}\end{smallmatrix}</math> 方向的夹角
* <math>c</math> 是光速

两者间距离 <math>r</math> 随时间 <math>t</math> 的变化率 <math>\dot{r}</math> 与该相对速度之间的关系为：

: <math>\dot{r} = {\operatorname{d}\!r\over\operatorname{d}\!t} = -v\cdot\cos\theta</math>

因而，将多普勒效应的表达式进行[[级数]]展开：

: <math>f_r = f_s\left(1-\frac{\dot{r}}{c}\right)\left(1+\frac{v^2}{2c^2}+\frac{3v^4}{8c^4}+\cdots\right)</math>

=== 多普勒频移 ===
当接收者与发送者的相对速度远小于光速（即 <math>\frac{v}{c} \ll 1</math>）时，仅保留级数的最大项，得到

: <math>f_r = f_s\left(1-\frac{\dot{r}}{c}\right)</math>

得到的发射频率 <math>f_s</math> 与接收频率 <math>f_r</math> 之差被称为多普勒频移（{{Lang-en|Doppler shift}}）：<ref name=":022" />{{Rp|273}}

: <math>\Delta f = f_s - f_r = \frac{\dot{r}}{c}f_s</math>

=== 横向多普勒效应 ===
在除去多普勒频移后，级数中的剩余项被称为横向多普勒效应（{{Lang-en|transversal Doppler effect}}）：<ref name=":0" />{{Rp|184}}

: <math>\Delta_R = \frac{v^2}{2c^2} + \frac{3v^4}{8c^4} + \cdots</math>

横向多普勒效应发生在与发射者与接收者的连线<math>\begin{smallmatrix}\vec{SP}\end{smallmatrix}</math> 相垂直的方向上，高精度的测量需要考虑对该效应进行改正。

== 多普勒测距 ==

=== 多普勒计数 ===
在发射者与接收者之间设定一相同的基准频率 <math>f_g</math>，当两者间存在多普勒效应时，接收方可以通过[[混频]]的方式求得[[拍频|拍频信号]] <math>f_g-f_r</math>。将该差频信号在[[时间|时域]] <math>T</math> 上进行[[积分]]：<ref name=":0" />{{Rp|184}}

: <math>N_{jk}=\int_{T_j}^{T_k} (f_g-f_r)\operatorname{d}\!T</math>

得到的 <math>N_{jk}</math> 被称为积分多普勒计数（{{Lang-en|integrated Doppler count}}），<math>T_j</math> 和 <math>T_k</math> 分别表示积分开始和结束的时间。

=== 距离差测量 ===
将多普勒频移的公式代入多普勒计数的公式中，可以将多普勒计数转换为积分起始时刻两者的距离差 <math>r_k-r_j</math> ，即<ref name=":022" />{{Rp|274}}

: <math>N_{jk}=\int_{T_j}^{T_k}\frac{f_g}{c}\dot{r}\operatorname{d}\!T=\frac{f_g}{c}(r_k-r_j)</math>

这一测量方式又被称为距离差测量。然而在实际应用中，计数器通常不能判别 <math>N_{jk}</math> 的符号，距离差 <math>r_k-r_j</math> 的符号亦无法判别。因此，通常会人为地提高接收者所产生的信号频率至 <math>f_0</math>，以保证 <math>f_0>f_r</math> 恒成立，此时上式变为<ref name=":022" />{{Rp|274}}

: <math>N_{jk}
=\int_{T_j}^{T_k} (f_0-f_r)\operatorname{d}\!T
=\int_{T_j}^{T_k} (f_0-f_g)\operatorname{d}\!T + \int_{T_j}^{T_k} (f_g-f_r)\operatorname{d}\!T
=(f_0-f_g)(T_k-T_j)+\frac{f_g}{c}(r_k-r_j)</math>

积分起始时刻两者的距离差 <math>r_k-r_j</math> 则写作

: <math>r_k-r_j = \frac{c}{f_g}\cdot\left[N_{jk}-(f_0-f_g)(T_k-T_j)\right]</math>

== 相关条目 ==

* [[子午仪卫星导航系统]]
* [[多普勒无线电定轨定位系统]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}{{空间大地测量学}}
[[Category:测量原理]]