查看“︁多元正态分布”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數
|6 = zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
|7= zh-hans:矩阵; zh-tw:矩陣;zh-hant:矩陣
}}

{{Infobox 機率分佈
  | name       = 多元正态分布
  | type       = multivariate
  | pdf_image  = [[File:GaussianScatterPCA.png|220px]]<br/> <small>Many samples from a multivariate (bivariate) Gaussian distribution centered at (1,3) with a standard deviation of 3 in roughly the (0.878, 0.478) direction (longer vector) and of 1 in the second direction (shorter vector, orthogonal to the longer vector).</small>
  | cdf_image  =
  | notation   = <math>\mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\,\boldsymbol\Sigma)</math>
  | parameters = '''''μ''''' ∈ '''R'''<sup>''N''</sup> — 位置<br/>'''Σ''' ∈ '''R'''<sup>''N×N''</sup> — [[协方差矩阵]] ([[半正定]])
  | support    = '''''x''''' ∈ '''μ'''+span('''Σ''') ⊆ '''R'''<sup>''N''</sup>
  | pdf        = <math>(2\pi)^{-\frac{N}{2}}|\boldsymbol\Sigma|^{-\frac{1}{2}}\, e^{ -\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)'\boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol\mu) },</math><br/>（仅当 '''Σ''' 为[[正定矩阵]]时）
  | cdf        = 解析表达式不存在
  | mean       = '''''μ'''''
  | median     =
  | mode       = '''''μ'''''
  | variance   = '''Σ'''
  | skewness   =
  | kurtosis   =
  | entropy    = <math>\frac{1}{2}\ln((2\pi e)^N |\boldsymbol\Sigma|)</math>
  | mgf        = <math>\exp\!\Big( \boldsymbol\mu'\mathbf{t} + \tfrac{1}{2} \mathbf{t}'\boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)</math>
  | char       = <math>\exp\!\Big( i\boldsymbol\mu'\mathbf{t} - \tfrac{1}{2} \mathbf{t}'\boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)</math>
  }}

'''多变量正态分布'''亦称为'''多变量高斯分布'''。它是单维[[正态分布]]向多维的推广。它同[[矩阵正态分布]]有紧密的联系。

==一般形式==
N维随机向量<math>\ X = [X_1, \dots, X_N]^T</math>如果服从多变量正态分布，必须满足下面的三个等價条件：
# 任何线性组合<math>\ Y = a_1 X_1 + \cdots + a_N X_N</math>服从[[正态分布]]。
# 存在随机向量<math>\ Z = [Z_1, \dots, Z_M]^T</math>( 它的每个元素服从独立标准正态分布），向量<math>\ \mu = [\mu_1, \dots, \mu_N]^T</math>及<math>N \times M</math> [[矩阵]]<math>\ A</math>满足<math>\ X = A Z + \mu</math>. 
# 存在<math>\mu</math>和一个对称[[半正定阵]]<math>\ \Sigma</math>满足<math>\ X </math>的[[:特征函数（概率论）|特征函数]]
#: <math>
\phi_X\left(u;\mu,\Sigma\right)
=
\mathrm{e}^{
 i \mu^T u - \frac{1}{2} u^T \Sigma u
}
</math>

如果<math>\ \Sigma</math>是[[非奇异矩阵|非奇异]]的，那么该分布可以由以下的[[概率密度函数]]来描述：<ref>[http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Stat/StatLec21-25.pdf UIUC, Lecture 21. ''The Multivariate Normal Distribution''] {{Wayback|url=http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Stat/StatLec21-25.pdf |date=20160623194512 }}, 21.5:"Finding the Density".</ref>

: <math>
f_{\mathbf x}(x_1,\ldots,x_k) =
\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{k}|\boldsymbol\Sigma|}}
\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^\mathrm{T}{\boldsymbol\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})}
,
</math>

注意这里的<math>|\Sigma|</math>表示协方差矩阵的行列式。

; 二元的情况
在二维非奇异的情况下（{{nowrap|1=''k'' = rank(Σ) = 2}}），向量 {{nowrap|[''X'' ''Y'']′}} 的[[概率密度函数]]为：
: <math>f(x,y) =
      \frac{1}{2 \pi  \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-\rho^2}}
      \mathrm{e}^{
        -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[
          (\frac{x-\mu_X}{\sigma_X})^2 -
          2\rho(\frac{x-\mu_X}{\sigma_X})(\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y}) +
          (\frac{y-\mu_Y}{\sigma_Y})^2 
        \right]
      }</math>

其中 ''ρ'' 是 ''X'' 与 ''Y'' 之间的[[皮尔逊积矩相关系数|相关系数]]，<math> \sigma_X>0 </math> 且 <math> \sigma_Y>0 </math>。在这种情况下， 
: <math>
    \boldsymbol\mu = \begin{pmatrix} \mu_X \\ \mu_Y \end{pmatrix}, \quad
    \boldsymbol\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \rho \sigma_X \sigma_Y \\
                             \rho \sigma_X \sigma_Y  & \sigma_Y^2 \end{pmatrix}.
  </math>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{-}}
{{概率分布}}
{{統計學}}

[[Category:连续分布]]
[[Category:正态分布]]
[[Category:指数族分布]]
[[Category:稳定分布]]
[[Category:概率分布]]