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[[File:三角形の外心.png|right|thumb|三角形的[[垂直平分線]]會相交於外接圓的[[圓心]]]]

在[[數學]]中，一個[[二維]]平面上的多邊形的'''外接圓'''是一個使得該[[多邊形]]的所有[[頂點 (幾何)|頂點]]都在其上的[[圓形]]，這時稱這個多邊形為圓內接多邊形，外接圓的圓心被稱為該多邊形的'''外心'''。

一個多邊形至多有一個外接圓，也就是說對於一個多邊形，它的外接圓，如果存在的話，是唯一的。並非所有的多邊形都有外接圓。[[三角形]]和[[正多邊形]]一定有外接圓。擁有外接圓的四邊形被稱為圓內接四邊形。

== 三角形的外接圓 ==
[[File:Cercle circonscrit à un triangle.svg|700px]]

任何[[三角形]]都有外接圓。三角形外心的位置在三角形的三條邊的[[垂直平分線]]的交點上，到三個頂點的距離都相等（等於外接圓的[[半徑]]），而且：
* 對於直角三角形，外心是斜邊的中點，外接圓半徑即斜邊長度的一半。這是[[泰勒斯定理]]的形式之一。
* 對於鈍角三角形：外心在三角形外，靠近最長邊。
* 對於銳角三角形：外心在三角形內。

若以''R''表示三角形外接圓[[半徑]]，那麼根據[[正弦定理]]，<math>\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R</math>。
若以<math>S</math>表示三角形面积，由于<math>S= \frac12 ab \sin C</math>，整理得到 <math>R=\frac{abc}{4S}</math>。

<!-- 过三点圆的[[方程]]为<math>\begin{vmatrix} x^2+y^2 & x & y & 1\\x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}=0</math><ref>{{cite web|title=三角形的四心|url=http://tieba.baidu.com/f?kz=159537188&qq-pf-to=pcqq.temporaryc2c|website=|language=zh|url-status=dead}}</ref>，故三角形外心[[坐标]]为<math> (\frac{\begin{vmatrix} x_1^2+y_1^2 & y_1 & 1\\x_2^2+y_2^2 & y_2 & 1\\x_3^2+y_3^2 & y_3 & 1 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}},\frac{\begin{vmatrix} x_1 & x_1^2+y_1^2 & 1\\x_2 & x_2^2+y_2^2 & 1\\x_3 & x_3^2+y_3^2 & 1 \end{vmatrix}}{2\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}})</math> -->

== 圓內接四邊形 ==
{{main|圆内接四邊形}}
圓內接[[四邊形]]對角[[補角|互補]]，其[[面積]]<math>A</math>可以用[[婆羅摩笈多公式]]求得：<math>A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}</math>，其中<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math>為四邊的長度，<chem>s</chem>為半[[圆#周长|周長]]。

其外接圓半徑為：<math>R = \frac{\sqrt{(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)}}{4A}</math>。

邊長相等的四邊形中，以圓內接四边形最大。

== 正多边形的外接圆 ==
所有的[[正多边形]]都有外接圆，外接圆的圆心和正多边形的中心重合。边长为<math>a</math>的''n''邊正多边形外接圆的半径为：
:<math>R_n = \frac{a}{2 \sin \left(\frac{\pi}{n} \right)} = \frac{a}{2} \csc \left(\frac{\pi}{n} \right)</math>
面積为：
:<math>A_n = \pi R_n^2 = \frac{\pi a^2}{4 \sin^2 \left(\frac{\pi}{n} \right)} = \frac{\pi a^2}{4}\csc^2 \left(\frac{\pi}{n} \right)</math>
正''n'' 边形的面积<math>S_n</math>与其外接圆的面积<math>A_n</math>之比为
:<math>\rho_n= \frac{S_n}{A_n} = \dfrac{ \frac{n a^2}{4}\cot \left(\frac{\pi}{n} \right) } { \frac{\pi a^2}{4}\csc^2 \left(\frac{\pi}{n} \right) } = \frac{n}{\pi} \cos \left(\frac{\pi}{n} \right) \sin \left(\frac{\pi}{n} \right) = \frac{ n }{ 2\pi}\sin \left( \frac{ 2 \pi}{ n } \right)</math>
故此，當<math>n</math>趨向[[無窮]]時，
:<math> \lim_{n\to\infty} \rho_n = \lim_{n\to \infty} \frac{n}{2\pi}\sin\left( \frac{2 \pi}{n} \right) = 1</math>

另外，其[[內切圓]]的面積<math>s_n</math>與其外接圓的面積<math>A_n</math>之比為:
:<math> \tau_n = \frac{ s_n }{A_n } = \frac{ s_n }{ S_n}\cdot\frac{S_n}{A_n} = \varphi_n \rho_n = \left[ \frac{ \pi }{ n} \cot\left( \frac{ \pi}{ n} \right) \right]\left[ \frac{n}{\pi} \cos\left(\frac{\pi}{n} \right) \sin\left(\frac{\pi}{n} \right) \right] = \cos^2 \left( \frac{ \pi } { n } \right) </math>

==参考资料==
{{reflist}}

== 延伸阅读 ==
* [[内切圆]]
* [[旁切圆]]
* [[九点圆]]
* [[最小外接圆]]
* [[外接球]]
* [[塔里點]]

{{三角形的特殊点}}
[[Category:圆]]
[[Category:三角形几何]]