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在[[數學]]裡，尤其是在[[李群]]的理論中，一[[根系 (数学)|根系]]的'''外尔群'''是指經由[[正交]]於根之[[超平面]]的鏡面而產生之根系的[[等距同構]]群之[[子群]]。例如，根系A<sub>2</sub>包含中心為原點之正六邊形的角。根系的對稱之整個群因此是有12[[階 (群論)|階]]的[[二面體群]]。外尔群產生於將六邊形平分成兩半的線之鏡射；其為6階的二面體群。

[[半單]][[李群]]、半單[[李代數]]和半單[[線性代數群]]等之外尔群為群或代數之根系的外尔群。

除去由&Phi;的根所定義之超平面會將[[歐幾里得空間]]切成有限個開領域，此領域稱為'''外尔腔'''。這些領域可以被外尔群的群作用置換，且此一群作用為[[群作用|簡單傳遞]]的。特別地是，外尔腔的數量是和外尔群的階相同的。任一非零向量都可以以正交於''v''之超平面''v''<sup>&and;</sup>將歐幾里得空間分成兩個半空間－''v''<sup>+</sup>和''v''<sup>&minus;</sup>。若''v''在某一外尔腔裡，則沒有根會在''v''<sup>&and;</sup>，所以每一個根都會在''v''<sup>+</sup>或''v''<sup>&minus;</sup>裡，且若其一根&alpha;在一邊，則其另外一根&minus;&alpha;會在另外一邊。因此，&Phi;<sup>+</sup> := &Phi;&cap;''v''<sup>+</sup>包含著&Phi;正好一半的根。當然&Phi;<sup>+</sup>和''v''有關，但只要''v''待在同一個外尔腔裡，&Phi;<sup>+</sup>就不會改變。根據上述選擇的根系之[[根系 (数学)|基]]為在&Phi;<sup>+</sup>內的''簡單根''，即其不能被寫成於&Phi;<sup>+</sup>內另外兩個根之和的根。因此，外尔腔、&Phi;<sup>+</sup>和其基決定了另一個，且外尔群在每一狀況下都為簡單傳遞。下面的圖示描繪了根系A<sub>2</sub>的六個外尔腔，一選定的''v''及其超平面''v''<sup>&and;</sup>(以虛線表示)及正根&alpha;、&beta;和&gamma;。此例中的基為{&alpha;,&gamma;}。

[[File:Weyl_chambers.png]] 

外尔群為[[考克斯特群]]的一特例。這表示其有一特殊種類的[[群的展現|展現]]，其中每一產生子''x<sub>i</sub>''均為二階，且有異於''x<sub>i</sub><sup>2</sup>''的關係(''x''<sub>''i''</sub>''x''<sub>''j''</sub>)<sup>''m''<sub>''ij''</sub></sup>。產生子是由簡單根所給出的鏡射，且''m<sub>ij</sub>''依據根''i''和''j''之間的角度為90度、120度、135度或150度等不同(即根據其在[[根系 (数学)|鄧肯圖]]內為不相連、以單邊相連、以雙邊相連、以三邊相連)而分別為2、3、4及6。一外尔群元素的''長度''為可以以最少字展現其以標準產生子表示之元素的長度。

若''G''為一在[[代數閉體]]上的半單線代數群，且''T''為一[[極大環面]]，則''T''的[[中心化子和正規化子|正規化子]]''N''包含著''T''，為一有限指數之子群，且''G''的外尔群''W''會同構於''N/T''。若''B''為''G''的[[波萊爾子群]]且將''T''選定放在''B''內，即可得到'''布吕阿分解'''

:<math>G = \bigcup_{w\in W} BwB</math>

其將[[旗流形]]''G''/''B''的分解映射至'''舒伯特細胞'''內。(詳見[[格拉斯曼空間]])

[[Category:李群|U]]
[[Category:李代數|U]]
[[Category:群论|U]]

==定义与样例==

<!-- 檔案不存在 [[File:A2_Weyl_group_(revised).png|thumb|right|<math>A_2</math>根系的外尔群是一个等边三角形的对称群。]] ，可從英文維基百科取得 -->
令<math>\Phi</math>为欧式空间<math>V</math>中的[[根系 (数学)|根系]]。对每个根<math>\alpha\in\Phi</math>，令<math>s_\alpha</math>表示关于垂直于<math>\alpha</math>的超平面的反射，它可以被显式地写成
:<math>s_\alpha(v)=v-2\frac{(\alpha,v)}{(\alpha,\alpha)}\alpha</math>，其中<math>(\cdot,\cdot)</math>为<math>V</math>上的内积。<math>\Phi</math>的外尔群<math>W</math>是正交群<math>O(V)</math>由所有<math>s_\alpha</math>生成的子群。由根系的定义，每个<math>s_\alpha</math>保持了<math>\Phi</math>，因此<math>W</math>为有限群。