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'''外尔特徵標公式'''（''Weyl's character formula'') 描述[[緊李羣]]不可約表示的特徵標。其名來自證明者[[赫尔曼·外尔]]。

定義：羣''G''的表示''r''的'''特徵標'''為一函數 <math>\chi: G\rightarrow C</math>，<math>\chi (g) := Tr(r(g))</math>，其中''Tr'' 為線性算子之[[迹]]。 （由[[彼得-外尔定理]] 可知緊李羣的任何不可約表示都是有限維的；故迹之定義為線性代數中之定義。）

特徵標 χ 記住了表示 ''r'' 本身的重要訊息。 外尔特徵標公式用羣''G''的其他資料來表達 χ 。 本文考慮複表示，不失一般亦設其為[[酉表示]]，因而「不可約」亦等價於「不可分解」（即非二子表示之直和）。

==公式 ==

緊李羣''G'' 之[[不可約表示]]之特徵標符合下式：

:<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda+\rho}) \over e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}</math>

其中

*ρ 為羣''G'' 之[[外爾向量|外尔向量]]，即各[[正根]]之和之半；
*''W'' 為 [[外爾羣|外尔羣]]；
*λ 為不可約表示之 [[最高權]]；
*α 遍歴''G''之每一[[正根]]。
==外尔分母公式==


在 1 維表示的特例中，特徵標為 1, 而外尔特徵標公式簡化成 '''外尔分母公式'''：

:<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}.</math>

若'''G'''為特殊么正羣，則簡化成[[范德蒙行列式]]的等式：
:<math> 
\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \cdots \alpha_n^{\sigma(n)-1} =\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i) </math>。

==外尔維度公式==
若只考慮單位元'''1'''之迹，則外尔特徵標公式 特殊化成 '''外尔維數公式''' 
::<math>\dim(V_\Lambda)= {\prod_{\alpha>0}(\Lambda+\rho,\alpha) \over \prod_{\alpha>0}(\rho,\alpha)}</math>,
::<math>\dim(V_\Lambda) = {\prod_{\alpha>0}(\Lambda+\rho,\alpha) \over \prod_{\alpha>0}(\rho,\alpha)}</math>
其中
* ''V''<sub>Λ</sub>為有限維表示，其最高權為Λ；
*ρ為外尔向量，
*α 遍歴所有正根。
由於式中分子與分母俱為高階零，故必須取''G''中之元素漸近單位元'''1'''時之極限。

==Freudenthal 公式==
[[Hans Freudenthal]]發現了{{le|權重數|weight multiplicities}}符合之一遞歸公式。此公式等價於外尔特徵標公式，而在某些情況下更簡便。式曰：
::<math> ((\Lambda+\rho)^2 - (\lambda+\rho)^2)\dim V_\lambda = 2 \sum_{\alpha>0}\sum_{j\ge 1} (\lambda+j\alpha, \alpha)\dim V_{\lambda+j\alpha}</math>；
其中
*Λ 為一最高權，
*λ 為另一權，
* dim V<sub>λ</sub> 為權λ 之重數，
*ρ 為外尔向量，
*外和中之 α 歴遍所有正根。

==外尔-Kac 特徵標公式==
外尔特徵標公式 亦適用於[[卡茨-穆迪代数]]之[[可積最高權表示]] ——'''外尔-Kac 特特徵標公式'''。同樣地，分母恆等式亦可推廣至卡茨-穆迪代数，其在[[仿射李代數]]之特例成為'''[[Ian G. Macdonald|Macdonald]] 恆等式'''。其在 A<sub>1</sub> 仿射李代數之例成為經典的 [[雅可比三重乘積]]恆等式：
:<math>\prod_{m=1}^\infty 
\left( 1 - x^{2m}\right)
\left( 1 - x^{2m-1} y\right)
\left( 1 - x^{2m-1} y^{-1}\right)
= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n x^{n^2} y^{n}.
</math>

此特徵公式可推廣至[[广义卡茨-穆迪代数]]之可積最高權表示：
:<math>{\sum_{w\in W} (-1)^{\det(w)}w(e^{\lambda+\rho}S) \over e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}</math>

其中 ''S'' 為一修正項：
 
:<math>S=\sum_{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}</math>

其中 ''I''歴遍虚簡單根集內 所有與最高權<math>\lambda</math> 正交、且互相正交之有限子集；|I| 集 I 之基數，而 Σ''I''為集 ''I'' 內元素之和。

而[[Monster 李代數]]之 分母公式 則為{{le|椭圓模函數|elliptic modular function}}''j''之積公式： 

::<math>j(p)-j(q) = \left({1 \over p} - {1 \over q}\right) \prod_{n,m=1}^{\infty}(1-p^n q^m)^{c_{nm}}</math>。

Peterson 發現了（廣義）{{le|可對稱化|symmetrisable}}卡茨-穆迪代数之根重數 mult(β) 遞歸公式。此公式等價於外尔-卡茨分母公式，但更便於計算：
::<math>(\beta,\beta-2\rho)c_\beta = \sum_{\gamma+\delta=\beta} (\gamma,\delta)c_\gamma c_\delta</math>,
其中γ 與 δ 遍歴所有正根，而 
::<math> c_\beta = \sum_{n\ge 1} {{\rm mult}(\beta/n)\over n}</math>。

== 參攷 ==

*''Infinite dimensional Lie algebras'', V. G. Kac, ISBN 0-521-37215-1
*{{springer|id=W/w130070|title=Weyl–Kac character formula|author=Duncan J. Melville}}

== 註 ==
<references/>


[[Category:李代數表示論|U]]
[[Category:李群表示论|U]]
[[Category:表示論|U]]
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