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在[[量子力學]]及[[量子場論]]等領域，'''外尔方程式'''（{{lang-en|Weyl Equation}}）為一[[相對論量子力學]]的[[波動]][[方程式]]，用以描述無質量的[[自旋1/2|自旋½]]粒子。其以[[德國]][[數學家]][[赫尔曼·外尔]]為名。

==方程式==
外尔方程式的廣義形式可寫為：<ref>Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0</ref><ref>The Cambridge Handbook of Physics Formulas, G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.</ref>

:<math> \sigma^\mu\partial_\mu \psi=0</math> 

在[[SI單位]]中可寫為：
:<math> I_2 \frac{1}{c}\frac{\partial \psi}{\partial t} + \sigma_x\frac{\partial \psi}{\partial x} + \sigma_y\frac{\partial \psi}{\partial y} + \sigma_z\frac{\partial \psi}{\partial z}=0</math> 

其中
:<math> \sigma_\mu = (\sigma_0,\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3)= (I_2,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)</math> 

為一[[向量]]。μ = 0分量為2 × 2 [[單位矩陣]]；μ = 1,2,3分量為[[包立矩陣]]。ψ則是[[波函數]]，為外尔[[旋量]]一例。

===外尔旋量===
其組成有ψ<sub>''L''</sub>與ψ<sub>''R''</sub>，分別為左手（Left-handed）外尔旋量及右手（Right-handed）外尔旋量，各自有兩個分量。兩者皆有下列形式：
:<math> \psi = \begin{pmatrix}
\psi_1 \\
\psi_2 \\ 
\end{pmatrix} = \chi e^{-i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}= \chi e^{-i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}-Et)/\hbar}</math>

其中
:<math> \chi = \begin{pmatrix}
\chi_1 \\
\chi_2 \\ 
\end{pmatrix} </math> 

為具有二常數分量之旋量。

既然粒子是不具[[質量]]的，亦即''m'' = 0，[[動量]]'''p'''的[[範數]]為[[波向量]]'''k'''的簡單乘積，由[[德布羅伊關係]]所描述：
:<math> |\mathbf{p}| = \hbar |\mathbf{k}| = \hbar \omega /c \, \rightarrow \, |\mathbf{k}| = \omega /c </math> 

方程式可以左手及右手旋量來表示：
:<math>\begin{align} & \sigma^\mu \partial_\mu \psi_R = 0 \\
& \bar{\sigma}^\mu \partial_\mu \psi_L = 0 
\end{align}</math>

== 推演 ==
透過[[拉格朗日密度]]可得方程式：
:<math> \mathcal L = i \psi_R^\dagger \sigma^\mu \partial_\mu \psi_R </math>
:<math> \mathcal L = i \psi_L^\dagger \bar\sigma^\mu \partial_\mu \psi_L </math>

將旋量及旋量的[[埃爾米特伴隨]]（以<math> \dagger </math>標記）當作獨立變數處理，則可得外尔方程式。

== 相關條目 ==
* [[狄拉克方程式]]（描述帶[[質量]]的[[自旋1/2|自旋½]]粒子）
* [[角動量算符]]
* [[動量算符]]
* [[自旋]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}

== 延伸閱讀 ==
* Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (USA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
* Particle Physics (2nd Edition), B.R. Martin, G. Shaw, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7
* Supersymmetry P. Labelle, Demystified, McGraw-Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-163641-4
* The Road to Reality, Roger Penrose, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

== 外部連結 ==
* {{en}}[https://web.archive.org/web/20140307120752/http://www.nbi.dk/~kleppe/random/ll/l2.html The Primacy of The Weyl Equation]
* {{en}}[https://web.archive.org/web/20160304064531/http://www.tfkp.physik.uni-erlangen.de/download/research/DW-derivation.pdf Dirac-Weyl equation]，[[石墨烯]]例子。
* {{en}}[https://web.archive.org/web/20131209101939/http://www.weylmann.com/weyldirac.pdf WEYL SPINORS AND DIRACíS ELECTRON EQUATION]

{{quantum field theory}}

[[Category:量子力學]]
[[Category:量子場論]]