查看“︁外代数”︁的源代码

{{copyedit|time=2018-06-16T08:45:14+00:00}}
{{NoteTA
|G1=Math
}}
  {{multiple image
   | left
   | footer    = 實外代數中，''n'' 階元素的幾何詮釋：{{nowrap|1=''n'' = 0}}（具有正負號的點），1（具有指向的線段，即[[向量]]），2（具有定向的平面元），3（具有定向的體積）。''n''個向量的外積可以圖像化為''n''維幾何物體（例如''n''維[[平行六面體]], ''n''維[[橢球]]）；其大小為[[超體積]]（hypervolume），其[[定向 (向量空間)|定向]]的定義由{{nowrap|(''n'' − 1)}}維邊界以及物體內部在哪一側來決定。<ref>{{cite book |author=R. Penrose| title=[[The Road to Reality]]| publisher= Vintage books| year=2007 | isbn=0-679-77631-1}}</ref><ref>{{cite book|title=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|author=J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne|publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|page=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/83 83]|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>
   | width1    = 220
   | image1    = N vector positive.svg
   | caption1  = '''左圖'''：由向量的[[有序集]]所定義出的[[定向 (幾何)|定向]]
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   | image2    = N vector negative.svg
   | caption2  = '''右圖'''：反定向，對應到加上負號的外積
  }}
'''外代数'''（{{lang-en|Exterior algebra}}）也稱為'''格拉斯曼代数'''（Grassmann algebra），以紀念数学家[[赫爾曼·格拉斯曼]]。

[[数学]]上，[[向量空间]]<math>V</math>的外代數是一个特定[[有单位的]][[结合代数]]，其包含了''<math>V</math>''为其中一个[[线性子空间|子空间]]。它记为<math>\land (V)</math>或<math>\land\cdot(V)</math>. 而它的乘法，称为'''楔积'''或'''外积'''，记为<math>\land</math>. 楔积是[[结合律|结合]]的和[[雙線性映射|雙線性]]的；其基本性質是它在''<math>V</math>''上是交錯的，也就是：

:<math>v\wedge v = 0</math>，對於所有向量<math>v\in  V</math>

这表示
:<math>u\wedge v = - v\wedge u</math>，對於所有向量<math>u,v\in V</math>，以及
:<math>v_1\wedge v_2\wedge\cdots \wedge v_k = 0</math>，當<math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> [[线性相关]]时。

值得注意的是，以上三性质只对<math>V</math>中向量成立，不是对代数<math>\land (V)</math>中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。<math>\land (V)</math>的这个一般性形式上可以用一个特定的[[泛性质]]表示，请参看下文。

形式为<math>v_1\land v_2\land\ldots\land v_k</math>的元素，其中<math>v_1,\ldots,v_k</math>在''<math>V</math>''中，称为<math>k</math>'''-向量'''。所有''<math>k</math>''-向量生成的<math>\land (V)</math>的子空间称为''<math>V</math>''的'''''<math>k</math>''-阶外幂'''，记为<math>\land^k(V)</math>。外代数可以写作每个'''''<math>k</math>'''''阶幂的[[直和]]：

:<math>\Lambda(V) = \bigoplus_{k=0}^{\infty} \Lambda^k V</math>

该外积有一个重要性质，就是'''''<math>k</math>'''''-向量和<math>I</math>-向量的积是一个<math>k+I</math>-向量。这样外代数成为一个[[分次代数]]，其中分级由'''''<math>k</math>'''''给出。这些'''''<math>k</math>'''''-向量有几何上的解释：2-向量<math>u\land v</math>代表以<math>u</math>和<math>v</math>为边的带方向的[[平行四边形]]，而3-向量<math>u\land v\land w</math>代表带方向的[[平行六面体]]，其边为''<math>u</math>'', ''<math>v</math>'', 和<math>w</math>。

外幂的主要应用在于[[微分几何]]，其中他们用来定义[[微分形式]]。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由[[格拉斯曼]]提出。

==定义及运算律==

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。

'''定义:''' 设 <math>V</math>是域 <math>K</math>上的一个[[向量空间]]，讓<math>T^k(V):=\underset{k}{\underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}} </math>則定義
::<math>T(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty T^k V
   = K \oplus V \oplus (V \otimes V) \oplus (V \otimes V \otimes V) \oplus \ldots
</math>
令 <math>I</math>为 <math>V</math>的[[张量代数]]的[[理想_(环论)|理想]]（即双边理想），该理想是由所有形如<math>v \otimes v</math>的张量'''生成'''的（其中<math>v \in V</math>任意），则将<math>V</math>上的外代数<math>\Lambda (V)</math>定义为[[商代数]]<math>T(V)/I</math>，即
::<math>
  \Lambda(V) := T(V)/I,
</math>

并且把<math>v_1 \otimes \ldots \otimes v_k \in T^k V</math>的[[等价类]]<ref>由下述[[等价关系]] <math>\sim</math> 所形成的等价类：
::<math>\forall u, v \in T(V)\, , u \sim v \Leftrightarrow u - v \in I \, .</math></ref> <math>[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in T(V)/I</math>记为<math>v_1 \wedge \ldots \wedge v_k</math>，其中 <math>v_1, \ldots, v_k \in V</math>。设<math>k = 0, 1, 2, \ldots \, ,</math> 称 
::<math>\Lambda^k(V) := (T^k V)/I</math>

为<math>V</math>的'''<math>k</math>-阶外幂'''（<math>k</math>th exterior power of <math>V</math>），称<math>\land^k (V)</math>中的元素为'''<math>k</math>-向量'''（<math>k</math>-multivector）。

'''注：'''
# <math>\forall \lambda \in K</math>，当且仅当<math>\lambda = 0</math>时才有<math>\lambda \in I</math>，因此，可以把<math>\Lambda^0 (V) = K/I</math>等同于<math>K</math>，并且把<math>[\lambda] \in \Lambda^0 (V)</math>记为<math>\lambda</math>；基于类似的原因，可以把<math>\Lambda^1 (V) = V/I</math>等同于<math>V</math>，而且把<math>[v] \in \Lambda^0 (V)</math>记为<math>v</math>。这一点是前面所讲的能够把<math>[v_1 \otimes \ldots \otimes v_k] \in \Lambda^k (V)</math>记为 <math>v_1 \wedge \ldots \wedge v_k</math>的特例和前提。
# 当<math>k > 1</math>时，<math>k</math>-向量并不仅限于形如<math>v_1 \wedge \ldots \wedge v_k</math>的元素，例如，<math>v_1 \wedge v_2 +  w_1 \wedge w_2</math>也是2-向量，其中<math>v_1, v_2, w_1, w_2 \in V</math>.
# 理想<math>I</math>中的元素并不仅限于形如<math>v \otimes v</math>的张量，例如，
##<math>\forall v \in V, \forall t \in T(V)</math>, 必定有 <math>v \otimes v \otimes t \in I</math>和<math>t \otimes v \otimes v \in I</math>.
## <math>\forall v, w \in V</math>, 由于<math>(v + w) \otimes (v + w) \in I</math>和<math>v \otimes v \in I</math>以及<math>w \otimes w \in I</math>，显然有<math>v \otimes w + w \otimes v = (v + w) \otimes (v + w) - v \otimes v - w \otimes w \in I</math>，这就有一个推论：'''所有的二阶对称张量都在理想<math>I</math>中。'''
## 由于上面的两个结论，<math>\forall v, w \in V</math>，我们有<math>v \otimes w \otimes v = v \otimes (w \otimes v + v \otimes w) - v \otimes v \otimes w \in I</math>，这是因为等式右边的每一项都在<math>I</math>中。对张量<math>t \in T(V)</math>的阶数作数学归纳法，则可以证明：<math>\forall v \in V</math>, <math>\forall t \in T(V)</math>，总有<math>v \otimes t \otimes v \in I</math>。
# 设<math>k = 2, 3, \ldots</math>，则<math>\forall \alpha \in \Lambda^k (V)</math>，<math>\alpha</math>作为等价类含有唯一的一个'''完全反对称的'''代表元<math>t \in T^k (V)</math>，可以把这个<math>k</math>-阶的完全反对称张量等同于<math>\alpha</math>, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，<math>k</math>-向量就是以这种方式定义的。

'''运算律''' 将上面的注中的内容用<math>\wedge</math>写出，则分别给出

(1) <math>\forall \lambda \in K, \alpha \in \Lambda(V)</math>, <math>\lambda \wedge \alpha = \alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha.</math>

证明如下： 作为等价类，我们从<math>\alpha \in \Lambda(V) = T(V)/I</math>中任意挑选一个代表元<math>t</math>，则<math>t \in T(V)</math>而且<math>\alpha = [t]</math>。根据商代数的定义，
::<math>\lambda \wedge \alpha = [\lambda] \wedge [t] = [\lambda \otimes t] = [\lambda t] = \lambda [t] = \lambda \alpha.</math>

类似地，可以证明<math>\alpha \wedge \lambda = \lambda \alpha \, .</math>

(2) 根据注3.1中的内容，显然有<math>v \wedge v = 0, \, \forall v \in V</math>.

(3) 根据注3.2中的内容，对任意<math>v, w \in V</math>成立着
::<math>v \wedge w = - w \wedge v.</math>

注：即使<math>K</math>的[[特徵 (代數)|特徵]]为2，这个公式也是对的，只不过此时有<math>-1 = 1</math>而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算<math>\wedge: \Lambda(V) \times \Lambda(V) \rightarrow \Lambda(V)</math>满足'''结合律'''和'''分配律'''：
::<math>(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),</math>
::<math>(\alpha + \beta) \wedge \theta = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta,</math>
::<math>\alpha \wedge (\beta + \theta) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \theta,</math>

其中<math>\alpha, \beta, \theta \in \Lambda (V)</math>都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量<math>a, b, t \in T(V)</math>分别是<math>\alpha, \beta, \theta</math>中的代表元，即<math>\alpha = [a]</math>, <math>\beta = [b]</math>, <math>\theta = [t]</math>, 则
::<math>(\alpha \wedge \beta) \wedge \theta = ([a] \wedge [b]) \wedge [t] = [a \otimes b] \wedge [t] = [(a \otimes b) \otimes t] = [a \otimes (b \otimes t)] = [a] \wedge [b \otimes t] = [a] \wedge ([b] \wedge [t]) = \alpha \wedge (\beta \wedge \theta),</math>
::<math>(\alpha + \beta) \wedge \theta = ([a] + [b]) \wedge [t] = [a + b] \wedge [t] = [(a + b) \otimes t]
  = [a \otimes t + b \otimes t] = [a \otimes t] + [b \otimes t] = [a] \wedge [t] + [b] \wedge [t]
  = \alpha \wedge \theta + \beta \wedge \theta.</math>

(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：<math>\forall \alpha \in \Lambda^k (V) \, , \, \beta \in \Lambda^l (V) \, ,</math>
::<math>\beta \wedge \alpha = (-1)^{kl} \alpha \wedge \beta.</math>
证明从略。

== 基底和维数 ==

若<math>V</math>的[[维数]]是<math>n</math>而<math>\left \{ e_1,\ldots,e_n \right \}</math>是''<math>V</math>''的[[基 (線性代數)|基]]，则集合

:<math>\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge\cdots\wedge e_{i_k} \mid 1\le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n\}</math>
是<math>k</math>阶外幂<math>\land^k(V)</math>的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积
:<math>v_1\wedge\cdots\wedge v_k</math>

则每个向量<math>v_j</math>可以记为[[基向量]]<math>e_i</math>的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基<math>k</math>-向量前的系数可以用通过积''<math>e_i</math>''来描述''<math>v_j</math>''的[[矩阵]]的[[子式]]来计算。

数一下基元素，我们可以看到<math>\land^k(V)</math>的维数是[[二项式系数|''n'' 取 ''k'']]。特别的有，
<math>\land^k(V)=\left \{ 0 \right \}</math>对于<math>k>n</math>.

外代数是一个[[分级代数]]，是如下[[直和]]
:<math>\Lambda(V) = \Lambda^0(V)\oplus \Lambda^1(V) \oplus \Lambda^2(V) \oplus \cdots \oplus \Lambda^n(V)</math>

其维数等于二项式系数之和，也就是<math>2^n</math>.

== 例子: 欧氏三维空间的外代数 ==
考虑空间<math>\mathbb{R}^3</math>，其基为<math>\left \{ i,j,k \right \}</math>。一对向量
:<math> \mathbf{u} = u_1 \mathbf{i} + u_2 \mathbf{j} + u_3 \mathbf{k} </math>
:<math> \mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k} </math>
的楔积为
:<math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j}) + (u_1 v_3 - u_3 v_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{k}) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) </math>

其中<math>\left \{ i\land j,i\land k,j\land k \right \}</math>是三维空间<math>\land^2\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>的基底。

再加一个向量
:<math> \mathbf{w} = w_1 \mathbf{i} + w_2 \mathbf{j} + w_3 \mathbf{k} </math>,
这三个向量的楔积是
:<math> \mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) </math>

其中<math>i\land j\land k</math>是一维空间<math>\land^3\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>的基底。

空间<math>\land^1\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>是<math>\mathbb{R}^3</math>, 而空间<math>\land^0\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>是'''<math>\mathbb{R}</math>'''。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间<math>\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>，这是八维向量空间

:<math> \mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8) := (a_1, a_2 \mathbf{i} + a_3 \mathbf{j} + a_4 \mathbf{k}, a_5 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} + a_6 \mathbf{i} \wedge \mathbf{k} + a_7 \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}, a_8 \mathbf{i} \wedge \mathbf{j} \wedge \mathbf{k}) </math>.

那么，给定一对8维向量<math>a</math>和<math>b</math>, 其中'''<math>a</math>'''如上给出，而

:<math> \mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3, b_4, b_5, b_6, b_7, b_8) </math>,
'''<math>a</math>'''和'''<math>b</math>'''的楔积如下(用列向量表达),

:<math> \mathbf{a} \wedge  \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 \\ a_1 b_3 + a_3 b_1 \\ a_1 b_4 + a_4 b_1 \\ 
a_1 b_5 + a_5 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2 \\   a_1 b_6 + a_6 b_1 + a_2 b_4 - a_4 b_2 \\   a_1 b_7 + a_7 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3 \\
a_1 b_8 + a_8 b_1 + a_2 b_7 + a_7 b_2 - a_3 b_6 - a_6 b_3 + a_4 b_5 +  a_5 b_4 \end{pmatrix} </math>.

容易验证8维楔积以向量<math>\left ( 1,0,0,0,0,0,0,0 \right )</math>为乘法幺元。也可以验证该<math>\land\left ( \mathbb{R}^3 \right )</math>代数的楔积是结合的(也是双线性的):

:<math> (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}) \wedge \mathbf{c} = \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) \qquad \qquad \forall \, \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \isin \Lambda (\mathbf{R}^3),</math>
所以该代数是有单位且结合的。

==叉乘的实质，赝向量与赝标量==

对三维欧几里得空间<math>E^3</math>可以建立一个线性同构<math>\phi: \Lambda^2(E^3) \rightarrow E^3</math>如下：任取<math>E^3</math>的'''右手的'''标准正交基<math>\boldsymbol{i}</math>，<math>\boldsymbol{j}</math>，<math>\boldsymbol{k}</math>，规定<math>\phi</math>把<math>\boldsymbol{i} \wedge \mathbf{j}</math>，<math>\boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}</math>，<math>\boldsymbol{k} \wedge \boldsymbol{i}</math>分别映射为<math>\boldsymbol{k}</math>，<math>\boldsymbol{i}</math>，<math>\boldsymbol{j}</math>，则<math>\phi</math>的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量<math>\boldsymbol{u}</math>和<math>\boldsymbol{v}</math>，这个线性同构把<math>\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}</math>映射为<math>\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}</math>。这就是[[叉乘]]（向量积）的实质。例如，<math>E^3</math>中[[平行四边形]]<math>ABCD</math>的面积向量可以表示为<math>\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}</math>. 经过推广之后，高维[[黎曼流形]]<math>(M, \mathbf{g})</math>中的[[紧]]的二维曲面<math>\Sigma</math>的面积则可以用
:<math>
  \int_\Sigma \sqrt{h} \, du^1 \wedge du^2 \, , \qquad 
  h = \left|\begin{array}{cc}
      h_{11} & h_{12} \\
      h_{21} & h_{22}
    \end{array}\right| \, ,
</math>

来计算（其中<math>h_{ab}</math>是度规张量场<math>\mathbf{g}</math>在<math>\Sigma</math>上的[[诱导度规]]
<math>
  \mathbf{h} = h_{ab} \, du^a \otimes du^b
</math>
的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。

在物理学中，'''向量'''（[[极向量]]）与'''赝向量'''（[[轴向量]]）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是<math>E^3</math>中的元素，所以在[[空间反演]]变换下不会改变方向；而赝向量其实是<math>\Lambda^2 (E^3)</math>中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。

类似地，借助于'''右手的'''标准正交基，可以把<math>\Lambda^3 (E^3)</math>中的元素<math>a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}</math>映射为“标量"<math>a \in \mathbb{R} = \Lambda^0 (E^3)</math>。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为'''赝标量'''。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量<math>\boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v}</math>映射为向量<math>\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}</math>以及把 3-向量<math>a \, \boldsymbol{i} \wedge \boldsymbol{j} \wedge \boldsymbol{k}</math>映射为一个实数<math>a</math>的映射实际上是一个叫做[[霍奇对偶]]的[[线性映射]]。

==泛性质及构造 ==

令<math>V</math>为一个[[域 (數學)|域]]<math>K</math>（在多数应用中，也就是[[实数]]域）上的向量空间。<math>\land(V)</math>是“最一般”的包含<math>V</math>的并有一个交替乘法在''<math>V</math>''上由单位的结合''<math>K</math>''-代数这个事实可以用如下的[[泛性质]]形式化的表达：

<div style="margin-left: 2em; margin-right: 2em">
任给一个有单位的结合 ''<math>K</math>''-代数<math>A</math>和一个''<math>K</math>''-[[线性映射]]<math>j:V\rightarrow A</math>使得<math>j(v)j(v)=0</math>对于每个<math>v</math>属于''<math>V</math>''成立，则存在''恰好一个''由单位的代数[[同态]]<math>f:\land(V)\rightarrow A</math>使得<math>f(v)=j(v)</math>所有<math>v</math>属于''<math>V</math>''成立。
</div>

[[File:ExteriorAlgebra-01.png|center|外代数的泛性质]]

要构造最一般的包含''<math>V</math>''的代数，而且其乘法是在''<math>V</math>''上交替的，很自然可以从包含''<math>V</math>''的最一般的代数开始，也就是[[张量代数]]<math>T(V)</math>，然后通过合适的[[因子环|商]]来强制交替的性质。这样我们取<math>T(V)</math>中由所有形为<math>v\otimes v</math>的元素生成的[[理想 (环论)|双边理想]]<math>I</math>，其中<math>v</math>属于''<math>V</math>''，并定义<math>\land(V)</math>为[[因子环|商]]
:<math>\land(V)=T(V)/I</math>

（并且使用<math>\land</math>为<math>\land(V)</math>中的乘法的代号）。然后可以直接证明<math>\land(V)</math>包含''<math>V</math>''并且满足上述泛性质。

如果不是先定义<math>\land(V)</math>然后把外幂<math>\land^k(V)</math>等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间<math>\land^k(V)</math>然后把它们合并成为一个代数<math>\land(V)</math>。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

==反对称算子和外幂==

给定两个向量空间''<math>V</math>''和<math>X</math>，一个从<math>V^k</math>到''<math>X</math>''的''反对称算子''是一个[[多线性映射]]

:<math>f:V^k\rightarrow X</math>

使得只要<math>v_1,\ldots,v_k</math>是''<math>V</math>''中[[线性相关]]的向量，则 
:<math>f\left ( v_1,\ldots,v_k \right )=0</math>.

最著名的例子是[[行列式]]值，从<math>(K^n)^n</math>到<math>K</math>的反对称线形算子。

映射
:<math>w:V^k\rightarrow \land^k(V)</math>

它关联''<math>V</math>''中的<math>k</math>个向量到他们的楔积，也就是它们相应的''<math>k</math>''-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在''<math>V^k</math>''上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子<math>f:V^k\rightarrow X</math>，存在一个唯一的[[线性映射]]<math>\varphi:\land^k(V)\rightarrow X\mathrm{with}f=\varphi\circ w</math>。这个[[泛性质]]表述了空间<math>\land^k(V)</math>并且可以作为它的定义。

所有从''<math>V^k</math>''到基域''<math>K</math>''的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若''<math>V</math>''是有限维的，维数<math>n</math>，则该空间可以认同为<math>\land^k(V^*)</math>，其中<math>V^*</math>表示''<math>V</math>''的对偶空间。特别的有，从''<math>V^k</math>''到''<math>K</math>''的反对称映射的空间是<math>n</math>取''<math>k</math>''维的。

在这个等同关系下，若基域是<math>R</math>或者<math>C</math>，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设<math>\omega:V^k\rightarrow K</math>和<math>\eta:V^m\rightarrow K</math>为两个反对称映射。和在多线性映射的[[张量积]]的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

:<math>\omega\wedge\eta=\frac{(k+m)!}{k!\,m!}{\rm Alt}(\omega\otimes\eta)</math>

其中多线性映射的交替<math>\mathrm{Alt}</math>定义为其变量的所有[[排列]]的带符号平均：

:<math>{\rm Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k)=\frac{1}{k!}\sum_{\sigma\in S_k}{\rm sgn}(\sigma)\,\omega(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(k)})</math>

'''注意：''' 有一些书中楔积定义为
:<math>\omega\wedge\eta={\rm Alt}(\omega\otimes\eta)</math>

==指标记法==
在主要由[[物理学家]]使用的[[指标记法]]中有：

:<math>(\omega\wedge\eta)_{a_1 \cdots a_{k+m}}=\frac{1}{k!m!}\epsilon_{a_1 \cdots a_{k+m}}^{b_1 \cdots b_k c_1 \cdots c_m} \omega_{b_1 \cdots b_k} \eta_{c_1 \cdots c_m}</math>

==微分形式==

令<math>M</math>为一个[[微分流形]]。一个[[微分形式|微分''k''-形式]]<math>\omega</math>是<math>\land^kT^*M</math>（<math>M</math>的[[余切丛]]的<math>k</math>阶外幂）的一个[[截面 (纤维丛)|截面]]。等价的有：<math>\omega</math>是<math>M</math>的光滑函数，对于<math>M</math>的每个点<math>x</math>给定一个<math>\land^k\left ( T_xM \right )^*</math>的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是[[微分几何]]的重要工具，其中，它们被用于定义[[德拉姆上同调]]和[[亚历山大-斯潘尼尔上同调]]。

==推广==

给定一个[[交换环]]<math>R</math>和一个''<math>R</math>''-[[模]]''<math>M</math>''，我们可以定义和上文一样的外代数<math>\land(M)</math>，它是张量代数<math>T(M)</math>适当的商。它会满足类似的泛性质。

==物理应用==

格拉斯曼代数在[[物理]]中有重要应用，它们被用于建模和[[费米子]]和[[超对称性]]相关的各种概念。

''参看''：[[超空间]]，[[超代数]]，[[超群 (物理)|超群]]

==注释==

<div class="references-small">
<references/>
</div>

==相关课题==
*[[多线性代数]]
*[[张量代数]]
*[[对称代数]]
*[[克利福德代数]]

{{張量}}

[[Category:微分几何|W]]
[[Category:多重线性代数|W]]
[[Category:微分形式|W]]