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[[数学]]中，'''复微分形式'''是（[[复流形|复]]）[[流形]]上具有[[复数 (数学)|复]]系数的[[微分形式]]。

复形式在[[微分几何]]中有广泛的应用，在复流形上是十分基本的，是[[代数几何]]、[[凯勒度量|凯勒几何]]、[[霍奇理论]]的基础；在非复流形上，也在[[殆复结构]]、[[旋子]]理论和[[CR结构]]的研究中发挥作用。

一般来说，之所以考虑复形式是因为它允许一些理想的分解。例如，复流形上任何复''k''形式都可唯一分解为所谓<math>(p,\ q)</math>形式之和，它大致是全纯坐标的''p''[[外导数|微分]]与其复共轭的''q''微分的楔。<math>(p,\ q)</math>形式的组合是研究的主要对象，在流形上确定了比''k''形式精细的几何结构。还存在更精细的结构，比如[[霍奇理论]]所应用的情形。

== 复流形上的微分形式 ==
设''M''是复维度为''n''的[[复流形]]，则有包含''n''个复值函数<math>z^1,\ \dots,\ z^n</math>的局部[[坐标系]]，使得片（patch）之间的坐标变换是这些变量的[[全纯函数]]。复形式空间带有丰富的结构，在基础上取决于变换函数为全纯的事实，而不只是光滑。

=== 1形式 ===
先看1形式。首先，将复坐标分解为实部和虚部：<math>\forall j,\ z^j=x^j+iy^j</math>。令
:<math>dz^j=dx^j+idy^j,\quad d\bar{z}^j=dx^j-idy^j,</math>
可见任何复系数微分形式都可唯一写成和
:<math>\sum_{j=1}^n\left(f_jdz^j+g_jd\bar{z}^j\right).</math>

令<math>\Omega^{1,\ 0}</math>为只含<math>dz</math>的复微分形式空间，<math>\Omega^{0,\ 1}</math>为只含<math>d\bar{z}</math>的复微分形式空间。可以证明，由[[柯西–黎曼方程]]，空间<math>\Omega^{1,\ 0},\ \Omega^{1,\ 0}</math>在全纯坐标变换下稳定；即，若选择不同的全纯坐标系<math>w_i</math>，<math>\Omega^{1,\ 0}</math>的元素将按[[旋子]]的方式变换，<math>\Omega^{0,\ 1}</math>中的元素也如此。于是，空间<math>\Omega^{0,\ 1},\ \Omega^{1,\ 0}</math>决定了复流形上的复[[向量丛]]。

=== 高次形式 ===
复微分形式楔积的定义与实形式相同。令''p''、''q''是一对非负整数≤ ''n''，<math>(p,\ q)</math>形式的空间<math>\Omega^{p,\ q}</math>定义为<math>\Omega^{1,\ 0}</math>中''p''个元素与<math>\Omega^{0,\ 1}</math>中''q''个元素之楔积的线性组合，也就是
:<math>\Omega^{p,q}=\underbrace{\Omega^{1,0}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{1,0}}_{p \text{ times}}\wedge\underbrace{\Omega^{0,1}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{0,1}}_{q \text{ times}}</math>
其中有<math>\Omega^{1,\ 0}</math>的''p''个因子和<math>\Omega^{0,\ 1}</math>的''q''个因子。它们在全纯坐标变换下是不变的，于是定义了向量丛。

若<math>E^k</math>是总次数为''k''的所有复微分形式的空间，则<math>E^k</math>的每个元素都可唯一表为空间<math>\Omega^{p,\ q}\ (p+q=k)</math>中元素的线性组合。更简洁地说，有直和分解
:<math>E^k=\Omega^{k,0}\oplus\Omega^{k-1,1}\oplus\dotsb\oplus\Omega^{1,k-1}\oplus\Omega^{0,k}=\bigoplus_{p+q=k}\Omega^{p,q}.</math>
由于此直和分解在全纯坐标变换下稳定，所以它还决定了向量丛分解。

特别地，对所有满足<math>p+q=k</math>的''k''、''p''、''q''，都有向量丛上的规范射影
:<math>\pi^{p,q}:E^k\rightarrow\Omega^{p,q}.</math>

=== 铎尔博尔算子 ===
一般的[[外导数]]定义了截面映射<math> d: \Omega^{r} \to \Omega^{r+1}</math>：
:<math> d(\Omega^{p,q}) \subseteq \bigoplus_{r + s = p + q + 1} \Omega^{r,s}</math>
外导数自身没有反映流形上更刚性的复结构。

用''d''和上小节定义的射影，可以定义'''铎尔博尔算子'''：
:<math>\partial=\pi^{p+1,q}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p+1,q},\quad \bar{\partial}=\pi^{p,q+1}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p,q+1}</math>
要用局部坐标描述这些算子，可令
:<math>\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar{z}^J\in\Omega^{p,q}</math>
其中''I''、''J''是[[多重指标]]。则
:<math>\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J</math>
:<math>\bar{\partial}\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J.</math>

可认为具有如下性质：
:<math>d=\partial+\bar{\partial}</math>
:<math>\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0.</math>

这些算子及其性质形成了[[铎尔博尔上同调]]与[[霍奇理论]]中很多方面的基础。

复流形的[[星形域]]上，铎尔博尔算子具有对偶同伦算子<ref name=":0">{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|date=2020|others=Section 4|title=The Poincare Lemma, Antiexact Forms, and Fermionic Quantum Harmonic Oscillator|journal=Results in Mathematics|language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|s2cid=199472766|issn=1422-6383|doi-access=free|arxiv=1908.02349}}</ref>，是来自d的[[庞加莱引理|同伦算子]]的分裂<ref name=":0" />，这是复流形上的[[庞加莱引理]]的一部分内容。

<math>\bar \partial,\ \partial</math>的庞加莱引理可以进一步推广到[[ddbar引理|局部<math>\partial \bar \partial</math>引理]]，指出d正合复微分形式也是<math>\partial \bar \partial</math>正合的。在紧[[凯勒流形]]上，局部<math>\partial \bar \partial</math>引理有一个全局形式，称作[[ddbar引理|<math>\partial \bar \partial</math>引理]]。这是[[霍奇理论]]的结果，指出：全局d正合的复微分形式（即在[[德拉姆上同调]]中的类是零）是全局<math>\partial \bar \partial</math>正合的。
===全纯形式===
对每个''p''，'''全纯''p''形式'''是丛<math>\Omega^{p,\ 0}</math>的全纯截面。局部坐标系中，全纯''p''形式可以写作
:<math>\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I</math>

其中<math> f_I </math>是全纯函数。等价地，由复共轭的独立性，当且仅当<math>(p,\ 0)</math>形式''α''满足下式时，是全纯的：
:<math>\bar{\partial}\alpha=0.</math>
全纯''p''形式的[[层 (数学)|层]]常常写作<math>\Omega^p</math>，不过这种写法有歧义，所以很多人会用其他写法。

== 另见 ==
*[[铎尔博尔复形]]
*[[弗罗利克谱序列]]
*[[第一类微分]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
* {{cite book | author=P. Griffiths | authorlink=Phillip Griffiths |author2=J. Harris |authorlink2=Joe Harris (mathematician)  | title=Principles of Algebraic Geometry | series=Wiley Classics Library | publisher=Wiley Interscience | year=1994 | isbn=0-471-05059-8 | pages=23–25 }}
* {{cite book|last=Wells|first=R. O.|authorlink=Raymond O. Wells Jr.|title=Differential analysis on complex manifolds|year=1973|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90419-0}}
* {{cite book|last=Voisin|first=Claire|authorlink=Claire Voisin|title=Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I|year=2008|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0521718011}}

[[Category:复流形]]
[[Category:微分形式]]