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{{noteTA|G1=Math}}
{{Unreferenced|time=2014-09-22}}
[[数学]]中，'''复射影平面'''（{{lang|en|complex projective plane}}），通常记作<math>\mathbb{CP}^2</math>，是二维[[复射影空间]]。它是一个[[复流形]]，由三个复坐标描述

:<math>(z_1,z_2,z_3) \in \mathbb{C}^3,\qquad (z_1,z_2,z_3)\neq (0,0,0)</math>

但这里差一个整体缩放的三元组是等同的：

:<math>(z_1,z_2,z_3) \equiv (\lambda z_1,\lambda z_2, \lambda z_3);\quad \lambda\in \mathbb{C},\qquad \lambda \neq 0.</math>

这就是说，它们是[[射影几何]]的传统意义下的[[齐次坐标]]。

复射影平面是一个二维复流形，作为一个四维实流形，它的[[上同调群]]是

:<math>\mathbb{Z}, 0, \mathbb{Z}, 0, \mathbb{Z}</math>

中间第二维的生成元由位于此平面中的复射影直线或称[[黎曼球面]]的上同调类<math>u</math>给出。它的上同调环由 <math>  u^2=</math><math>[\mathbb{CP}^2]</math>决定。

在[[双有理几何]]中，复[[有理曲面]]是任何双有理等价于复射影平面的[[代数曲面]]。我们知道任何非奇异有理簇可由此平面通过曲线的[[拉开]]变换与其逆（压平）序列得到，一定是非常特殊的一类。特别的一种情形，''P''<sup>3</sup> 中一个非奇异复[[二次曲线]]是由此平面通过拉开两点为曲线，然后将通过这两点的直线拉开得到；这个变换的逆过程可视为取二次曲线 ''Q'' 中一点 ''P''，将其拉开，通过作过 ''P'' 的直线将其投影到 ''P''<sup>3</sup> 中一个一般平面。

复射影平面的双有理自同态群是[[克里摩拿群]]（{{le|Cremona group}}）。

==拓扑==

复射影平面的[[贝蒂数]]为：

:1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

==相关条目==
*[[del Pezzo surface]]
*[[toric geometry]]
*[[fake projective plane]]

[[Category:代数曲面]]
[[Category:复曲面]]
[[Category:射影几何]]