查看“︁复合泊松分布”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|T = zh-cn:复合泊松分布; zh-tw:複合卜瓦松分布; zh-hk:複合泊松分布;
|2 = zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩;
|3 = zh-hant:參數;zh-cn:参数;zh-tw:母數;
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{{unreferenced|time=2011-05-24T17:51:59+00:00}}
在[[概率论]]中，'''复合泊松分布'''（{{lang-en|compound Poisson distribution}}）是指一些[[独立同分布]]的[[随机变量]]的和的[[概率分布]]，而这些随机变量的个数服从[[泊松分布]]。在最简单的情形下，'''复合泊松分布'''可以是[[连续分布]]或者[[离散分布]]。

==定义==

假设

:<math>N\sim\operatorname{Poisson}(\lambda),</math>

也就是说，''N''是一个[[随机变量]]，其分布为期望为λ的[[泊松分布]]，且

:<math>X_1, X_2, X_3, \dots</math>

为同分布的随机变量，他们相互独立，且与''N''也独立。则在变量个数（<math>N</math>）给定的条件下，这<math>N</math>个独立同分布的随机变量和的概率分布：
:<math>Y | N=\sum_{n=1}^N X_n</math>

是一个良定的分布。''N'' = 0时，''Y''也为0，此时''Y''&nbsp;|&nbsp;''N=0''有退化的分布。

复合泊松分布可以通过将(''Y'',''N'')的联合分布在''N''上边缘化而得到，而联合分布可以通过结合条件分布''Y''&nbsp;|&nbsp;''N''和''N''的边際分布而得到。

==性质==

复合泊松分布的[[期望值|均值]]和[[方差]]可以简单地从[[全期望公式]]和[[全方差公式]]推导出来。即

:<math>\operatorname{E}_Y(Y)= \operatorname{E}_N\left[\operatorname{E}_{Y|N}(Y)\right]= \operatorname{E}_N\left[N \operatorname{E}_X(X)\right]= \operatorname{E}_N(N)\operatorname{E}_X(X)  ,</math>

:<math>\operatorname{Var}_Y(Y) = E_N\left[\operatorname{Var}_{Y|N}(Y)\right] + \operatorname{Var}_N\left[E_{Y|N}(Y)\right] 
=\operatorname{E}_N\left[N\operatorname{Var}_X(X)\right] + \operatorname{Var}_N\left[N\operatorname{E}_X(X)\right] ) ,</math>
则

:<math>\operatorname{Var}_Y(Y) = 
 \operatorname{E}_N(N)\operatorname{Var}_X(X) + \left(\operatorname{E}_X(X)\right)^2\operatorname{Var}_N(N) .</math>

因为''N''是泊松的，则有E(''N'')=Var(''N'')，再略去一些不必要的下标，上述公式可化简为

:<math>\operatorname{E}(Y)= \operatorname{E}(N)\operatorname{E}(X)  ,</math>
:<math>\operatorname{Var}(Y) = E(N)(\operatorname{Var}(X) + {E(X)}^2 )= E(N){E(X^2)}.</math>

''Y''的概率分布可以由其[[特征函数_(概率论)|特征函数]]决定：

:<math>\varphi_Y(t) = \operatorname{E}\left(e^{itY}\right)= \operatorname{E}_N\left( \left(\operatorname{E}\left(e^{itX}\right) \right)^{N} \right)= \operatorname{E}_N\left( \left(\varphi_X(t) \right)^{N} \right),  \,</math>

因此，使用泊松分布的[[概率生成函数]]，

:<math>\varphi_Y(t) = \textrm{e}^{\lambda(\varphi_X(t) - 1)}.\,</math>

==复合泊松过程==

一个速率为<math>\lambda>0</math>，增量分布为''G''的[[复合泊松过程]]是一个连续时间[[随机过程]]<math>\{\,Y(t) : t \geq 0 \,\}</math>，定义如下

:<math>Y(t) = \sum_{i=0}^{N(t)} D_i</math>

其中，<math> \{\,N(t) : t \geq 0\,\}</math>是一个速率为<math>\lambda</math>的[[泊松过程]]，<math> \{\,D_i : i \geq 0\,\}</math>是独立同分布的随机变量，其分布为''G''，与<math> \{\,N(t) : t \geq 0\,\}</math>独立。

==应用==

复合泊松分布广泛用于[[精算|精算学]]和保险业，用来对总索赔额<math>Y</math>进行建模，<math>Y</math>是随机的<math>N</math>个独立同分布的索赔额''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ... , ''X''<sub>''N''</sub>的和。

== 參見 ==
* [[概率论]]
* [[機率分佈]]

{{概率分布类型列表}}

[[Category:离散分布]]