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'''複利率法'''<ref>{{Cite web |url=http://terms.naer.edu.tw/search/?q=%E8%A4%87%E5%88%A9&field=ti&op=AND&match=&group=&num=10 |title=學術名詞資訊網--名詞檢索 |accessdate=2011-11-28 |publisher=國家教育研究院 |language=zh-hant |archive-date=2020-04-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200421061722/http://terms.naer.edu.tw/search/?q=%E8%A4%87%E5%88%A9&field=ti&op=AND&match=&group=&num=10 |dead-url=no }}</ref>（英文：{{lang|en|compound interest}}），是一种计算[[利息]]的方法。按照这种方法，利息除了會根據[[本金]]計算外，新得到的利息同樣可以生息，因此俗稱「利滚利」、「驴打滚」或「利疊利」。只要計算利息的周期越密，財富增長越快，而隨著年期越長，複利效應亦會越為明顯。

==複利效應==
複利是現代理財一個重要概念，由此產生的財富[[經濟成長|成長]]，稱作「複利效應」，對財富可以帶來深遠的影響。假設投資每年的回報率是100%，本金10萬，如果只按照普通利息計算，每年回報只有10萬元，10年亦只有100萬元，整體財富增長只是10倍，但按照複利方法計算，首年回報是10萬元，令個人整體財富變成20萬，第二年20萬會變成40萬，第三年40萬再變80萬元，10年累計增長將高達1024倍（2的10次方），亦即指10萬元的本金，最後會變成1.024億元。

隨著年期增長，複利效應引發的倍數增長會越來越顯著，以每年100%回報計算，10年複利會令本金增加1,024倍（2的10次方），但20年則增長1,048,576倍（2的20次方），30年的累積倍數則達1,073,741,824倍（2的30次方），若本金是1萬元，30年後就會變成107,374.2億元。

人類歷史中，要長期達到每年100%回報是幾近不可能，以[[福布斯香港富豪榜|香港首富]][[李嘉誠]]為例，1950年以7,000美元成立[[長江塑膠廠]]，在2006年擁有約188億美元身家計算，撇開其他因素，他的財富在57年增長268.6萬倍，其每年的複利回報亦僅為26.68%((188亿/7,000)开57次方=1.2966)。

在另一個西方世界常引用的例子中，假設[[美國原住民]]1626年，願意以60荷蘭盾出售今日[[曼哈頓]]的土地，並將這60盾放到[[荷蘭銀行]]，收取每年6.5%的複利利率，他們2005年將可獲得約63,960億港元的存款，較紐約市[[第五大道]]的物業總市值還要高。而2006年全球市值最大的上市公司[[艾克森美孚]]，市值亦只有34,000多億港元。

正因為複利的倍數式增長速度，在不同古代社會中均禁止收取複利。《[[古蘭經]]》就明文規定[[穆斯林]]，「不要吃重複加倍的利息」（第3章130節）。重複加倍的利息，說的正是複利。1571年，英國開始容許每年最高10%的貨款利息，引發連串道德爭議，但此後利息效應開始為人注意。1613年，英國數學家[[#複利效應|李察·維特]](Richard Witt)發表《數學問題》一書，全面研究複利效應、及在複利下土地的估值物問題，成為研究複利的劃時代作品。

現時世界各國普遍都有對放債人所收取的利息有最高限制，{{Fact|一般都以30%年息為上限|time=2015-03-25}}（香港法律容許的上限為48%<ref>{{Cite web|title=香港法例第163章 《放債人條例》第24條|url=https://www.elegislation.gov.hk/hk/cap163?xpid=ID_1438402764504_003|date=2022-12-30|language=zh|url-status=live}}</ref>，中華民國目前容許的上限為 16%<ref>{{cite web|title=中華民國民法第205條|url=https://law.moj.gov.tw/LawClass/LawSingle.aspx?Pcode=B0000001&FLNO=205|date=2021-7-20|language=zh|url-status=live}}</ref>，企業經營者以定型化契約約定分期付款時，若未載明利率，則週年利率不得逾 5%<ref>{{cite web|title=消費者保護法第21條|url=https://law.moj.gov.tw/LawClass/LawSingle.aspx?pcode=J0170001&flno=21|date=1994-1-11|language=zh|url-status=live}}</ref>），在此以上的都被視為進行[[高利貸]]活動而加以取締。而現時[[信用卡]]欠賬的年息往往高於20%甚至30%。

==公式==
===基本公式===
最簡單的複利公式如下：
:<math> FV = PV ( 1+i )^n\, </math><ref>{{cite web|title=複利計算機|url=https://www.investment-calculator.app|date=2025-02-01|language=zh|url-status=live}}</ref>

FV（Future Value）是指[[財富]]在未來的[[價值]]；PV（Present Value）是指現值，亦即指本金；i（interest）是指[[週期]]內的固定[[利率]]或固定回報率，n則是累計的週期。

如上文的例子，假設每年（即週期是1年）的[[投資報酬率|回報]]是100%，1萬元是在30年後（累計有30個週期）變成107,374.2億元，公式如下：　
:<math>  10,000( 1+100\% )^{30}\, </math>

該公式只要稍作改動，則可計算出不同資訊。例如，投資者現時持有1萬元本金（PV=10,000），希望10年後（n=10）擁有10萬元（FV=100,000），將可憑以下[[公式]]，計算出所需的年複利率（i）。　
:<math> i = \sqrt[n]{\left( \frac {FV} {PV} \right)} -1 \,</math> 或 <math> i = \left( \frac {FV} {PV} \right)^\left(\frac {1} {n} \right)- 1\,</math>

假設已知週期內的固定利率或回報率（i），累計週期（n）亦已確定，那麼進行一些代數調整後，就可以計算需要多少[[本金]]（PV），才可以在指定的時間內得到未來一定的回報（FV）。
:<math> PV = \frac {FV} {\left( 1+i \right)^n}\,</math>

==參考資料==
<references/>

==延伸閱讀==
*Lewin, C G（1970） "An Early Book on Compound Interest - Richard Witt's Arithmeticall Questions". Journal of the Institute of Actuaries 96 (1): 121-132. {{en}}
*Lewin, C G（1981） "Compound Interest in the Seventeenth Century". Journal of the Institute of Actuaries 108 (3): 423-442. {{en}}
*Andreas Eschbach: Eine Billion Dollar（2001年）{{de}}
*Erich Kästner: [https://web.archive.org/web/20061223002753/http://www.altenforst.de/cms/mpcms/itemID/3536/index.html Ansprache zum Schulbeginn]（1950年）{{de}}

== 參見 == 
* [[等比数列]]
* [[利息计算]]
* [[高利贷]]

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20070927212526/http://www.caibai.cn/tutorials_details.php?tutorial_id=26 财经百科: -{zh-hans:复;zh-hant:複;}-息增长威力]

{{Authority control}}
[[Category:金融]]
[[Category:指数]]