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{{onesource|time=2019-07-22T10:46:20+00:00}}
[[數學]]中 ，'''填充维度'''是一種可用于定义[[度量空间]]中[[子集]]之[[維度|维度]]的概念。某種程度上，填充維度和[[豪斯多夫维数|郝斯多夫維度]]是[[對偶]]的，因為填充維度是利用「填充」給定的子集來定義，而郝斯多夫維度是利用「[[覆盖 (拓扑学)|覆蓋]]」給定的子集來定義。填充維度C.Tricot Jr.在1982年引入。 

== 定義 ==
设<math>(X,d)</math>是度量空間且<math>S\subseteq X</math>，那麼對<math>s\ge 0</math>，定義<math>S</math>的<math>s</math>維的'''填充前測度'''（'''packing pre-measure'''）為

: <math>{\displaystyle P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\left|{\begin{matrix}|I|\le|\mathbb{N}|,\\{\text{球}\;\;B_i\cap B_j=\varnothing\;\forall i,j\in I},\\\text{diam}(B_i)\leq \delta,B_i\text{ 的 圓 心 }\in S\;\forall i\in I\end{matrix}}\right.\right\}.}</math>

上式只是一个前測度，而非真正的[[测度]]，<math>S</math>的<math>s</math>維'''填充測度'''的定義是

:<math>{\displaystyle P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},|J|\leq |N|\right\},}</math>

即填充測度是其[[可數]]個[[覆盖 (拓扑学)|覆蓋]]的填充前測度和的最大下界。  

如此一來，<math>S</math>的填充維度定義為 

: <math>\begin{align}
\dim_\mathrm P(S)&=\inf \left\{s\geq 0|P^s(S)=0\right\}\\&= \sup \{ s \geq 0 | P^s (S) = + \infty \}
.\end{align}</math>

=== 示例 ===
以下示例是填充維度與郝斯多夫維度不相等最简单的情况。 

<math>(a_n)</math>考慮序列<math>(a_n)</math><math>(a_n)</math><math> (a_n )</math>使得<math>a_0</math>且<math display="inline">0<a_{n+1}<a_n/2</math>。定義一系列的[[紧空间|緊緻]]集<math display="inline">E_0 \supset E_1 \supset E_2 \supset \cdots</math>如下： 

* 設<math display="inline">E_0=[0,1]</math>。 
* 對每個<math display="inline">E_n</math>（<math>n\in\mathbb{N}</math>）的線段，去除中間長為<math display="inline">a_n - 2a_{n+1}</math>的開[[區間]]，以得到兩個長為長為<math display="inline">a_{n+1}</math>的閉區間。

現在定義<math display="inline">K = \bigcap_{n\in\mathbb{N}} E_n</math>。可以證明    

: <math>\begin{align}
\dim_{\mathrm{H}} (K) &{}  = \liminf_{n\to\infty} \frac{n \log 2}{- \log a_n} \, , \\
\dim_{\mathrm{P}} (K) &{}  = \limsup_{n\to\infty} \frac{n \log 2}{- \log a_n} \, .
\end{align}</math>

容易知道對給定的數<math>0 \leq d_1 \leq d_2 \leq 1</math>，我們可以取序列<math> (a_n )</math>使得上面兩個維度分別是<math display="inline">d_1,d_2</math>。

== 參見 ==

* [[豪斯多夫维数|郝斯多夫维度]]
* [[计盒维数|計盒维度]] 

== 参考資料 ==

* {{Cite journal|title=Two definitions of fractional dimension|last=Tricot, Jr.|first=Claude|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|issue=1|doi=10.1017/S0305004100059119|year=1982|volume=91|pages=57–74}} 

{{分形}}
[[Category:度量几何]]
[[Category:分形]]
[[Category:維度論]]