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在[[數學]]中，'''塞爾伯格跡公式'''是[[非交換調和分析]]的重要定理之一。此公式表達了[[齊性空間]] <math>G/\Gamma</math> 的函數空間上某類算子的[[跡數]]，其中 <math>G</math> 是[[李群]]而 <math>\Gamma</math> 是其離散子群。

[[塞爾伯格]]在1956年處理了緊[[黎曼曲面]]上的[[拉普拉斯算子]]的情形。藉由拉普拉斯算子及其冪次，塞爾伯格定義了[[zeta函數|塞爾伯格ζ函數]]。此時的公式相似於[[解析數論]]關注的「明確公式」：黎曼曲面上的[[測地線]]在公式中扮演[[素數]]在明確公式裡的角色。

一般而言，塞爾伯格跡公式聯繫了負常數[[曲率]]緊曲面上的拉普拉斯算子的譜，以及該曲面上的週期測地線長度。對於[[環面]]，塞爾伯格跡公式化為[[泊松求和公式]]。

==定義==
設 <math>X</math> 為緊緻、負常曲率曲面，這類曲面可以表為上半平面 <math>\mathbb{H}</math> 對 <math>\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})</math> 的某離散子群 <math>\Gamma</math> 的商。
:<math>X \ = \ \Gamma \backslash \mathbb{H}</math>

考慮 <math>X</math> 上的拉普拉斯算子
:<math> \Delta \ u(x,y) \ = \ y^2 \left( \, \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \ +  \ \frac{\partial^2 }{\partial y^2} \,  \right) u(x,y)</math>
由於 <math>X</math> 為緊曲面，該算子有離散譜；換言之，下式定義的[[特徵值]] <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \ldots</math>  至多可數
:<math>- \ \Delta \ u_n(x,y) \ = \ \lambda_n \ u_n(x,y)</math>
事實上，更可將其由小至大排列：
:<math> 0 = \lambda_0 < \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots </math>

對應的特徵函數 <math>u_n(x,y) \in C^{\infty}(\mathbb{H}) </math>，並滿足以下週期條件：
<math>\forall \ \gamma \ \in \ \Gamma  \ , \quad u_n(\gamma z)\ = \ u_n(z) </math>

行變元代換
<math> \lambda_n  \ = \ s_n(1-s_n) \ , \quad s_n \ = \ \frac{1}{2} \ + \ i \, r_n </math>

於是特徵值可依 <math> r_{n}, \quad n \ \geq \ 0 </math> 排列。

==跡公式==
'''塞爾伯格跡公式'''寫作

<math>
\sum_{n=0}^{\infty} h(r_n) = \frac{\mu(F)}{4 \pi } \int_{-\infty}^{\infty} r \, h(r) \,  \tanh(\pi r) \, dr \ + \ \sum_{ \{T\} } \frac{ \log N(T_0) }{ N(T)^{1/2} - N(T)^{-1/2} } \ g( \log N(T) )
</math>

和式中的 <math>\{ T \}</math> 取遍所有雙曲共軛類。所取函數 <math>h</math> 須滿足下述性質：
* 在帶狀區域 <math> \vert \Im \mathrm{m}(r) \vert \leq 1/2+\delta </math> 上為[[解析函數]]，在此 <math>\delta >0 </math> 為某常數。
* 偶性：<math> h(-r)=h(r) </math>。
* 滿足估計：<math> \vert h(r) \vert \leq M \ \left( 1 + \vert \Re \mathrm{e}(r) \vert^{-2-\delta} \ \right)</math>，在此 <math>M > 0</math> 為某常數。

函數 <math>g</math> 是 <math>h</math> 的[[傅里葉變換]]：
: <math> h(r) = \int_{-\infty}^{\infty} g(u) \ e^{iru} \ du </math>。

==後續發展==
為了計算[[赫克算子]]作用於[[尖點形式]]上的跡，出現了 Eichler-塞爾伯格跡公式。[[志村五郎]]後來採取的方法省去了跡公式中的分析技巧。拋物上同調也為非緊黎曼曲面與[[模曲線]]的尖點問題提供了純粹的代數框架。最後，<math>X = \Gamma \backslash \mathbb{H}</math> 為緊的情形可藉[[阿蒂亞-辛格指標定理]]處理，然而，一旦取 <math>\Gamma</math> 為[[算術子群]]，便不免要處理非緊的情形。

在1960年代，塞爾伯格跡公式由蘇聯的[[蓋爾芳特]]學派、[[普林斯頓大學]]的 Harish-Chandra（हरीश चन्द्र）、[[羅伯特·郎蘭茲]]與日本的[[窪田富男]]接手推動。非緊情形的連續譜是郎蘭茲發展[[艾森斯坦級數]]理論的動機之一。拉普拉斯算子與赫克算子的跡公式表明了[[賦值向量環]]之妙用。

亞瑟-塞爾伯格跡公式適用於一般的[[半單群]]（或[[約化群]]）。此公式的一側稱為'''譜側'''，與群的表示相關；另一側稱為'''幾何側'''，與函數之軌道積分相關。群表示通常帶有重要的數論信息，而軌道積分則較容易操作。亞瑟-塞爾伯格跡公式是證明[[郎蘭茲綱領|郎蘭茲函子性猜想]]的重要進路之一。

==文獻==
* 葉揚波《模形式與跡公式》，北京大學出版社，2001年。 ISBN 7-301-04586-7
* A. Selberg, ''Harmonic Analysis and Discontinuous Groups in Weakly Symmetric Riemannian Spaces With Applications to Dirichlet Series'', ''Journal of the Indian Mathematical Society'' 20 (1956) 47-87. 
* H.P. McKean, ''Selberg's Trace Formula as Applied to a Compact Riemannian Surface'', ''Communications in Pure and Applied Mathematics'' 25 (1972) 225-246. 勘誤見 : ''Communications in Pure and Applied Mathematics'' 27 (1974) p.134
* D. Hejhal, ''The Selberg Trace Formula and the Riemann Zeta Function'', Duke Mathematics Journal 43 (1976) 441-482
* D. Hejhal, ''The Selberg Trace Formula For PSL(2,'''R''')'', Volume I, Springer Lecture Notes 548 (1976), ISBN . 
* A.B. Venkov, ''Spectral Theory of Automorphic Functions, the Selberg Zeta Function, and Some Problems of Analytic Number Theory and Mathematical Physics'', Russian Mathematical Surveys 34 (1979) 79-153.
* P. Cartier and A. Voros, ''Une Nouvelle Interprétation de la formule des traces de Selberg'', dans ''The Grothendieck Festschrift'', volume 87 of Progress in Mathematics, Birkhäuser (1990) 1-67.
* {{en}} Matthew R. Watkins, ''[http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/physics4.htm Selberg trace formula and zeta functions] {{Wayback|url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/physics4.htm |date=20060925091627 }}''

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