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在[[数学]]中，'''塞尔谱序列'''（{{lang|en|Serre spectral sequence}}），有时为了纪念[[让·勒雷]]早先的工作称为'''勒雷-塞尔谱序列'''（{{lang|en|Leray-Serre spectral sequence}}），是[[代数拓扑学]]中的基本工具。它用[[同调代数]]的语言将一个（塞尔）[[纤维化 (数学)|纤维化]]的全空间 ''E'' 的[[奇异同调|奇异（上）同调]]表示为[[底空间]] ''B'' 和纤维 ''F'' 的（上）同调。此结论属于[[让-皮埃尔·塞尔]]的博士论文。

==表述==

令 <math>f : E \rightarrow B</math> 是拓扑空间的一个塞尔纤维化，''F'' 是其[[纤维 (数学)|纤维]]。结论用[[谱序列]]和标准记号表示。在没有简化假设时，记号必须正确地理解。
== 上同调谱序列 ==
塞尔上同调谱序列为：

:''E''<sub>2</sub><sup>''pq''</sup> = ''H''<sup>''p''</sup>(''B'', ''H''<sup>''q''</sup>(''F'')) <math>\Rightarrow</math> ''H''<sup>''p+q''</sup>(''E'').

这里，至少在标准简化条件下，''E''<sub>2</sub>-项中的系数群是 ''F'' 的第 ''q'' 个[[整上同调群]]，外面的群是 ''B'' 的系数取值于这个群的[[奇异上同调]]。

严格地说，这表示关于 ''B'' 上由不同的纤维的上同调给出的[[局部系数系统]]的上同调。如果假设，''B'' 是[[单连通]]，便退化为通常的上同调。对一个[[道路连通]]底空间，所有不同的纤维是[[同伦等价]]的。特别的，它们的同调是同构的，所以纤维的选取没有歧义。

收敛项表示整个空间的整上同调。 

其中有乘法结构

: <math>E_r^{p,q} \times E_r^{s,t} \to E_r^{p+s,q+t},</math>

在 ''E''<sub>2</sub>-项上与 ''qs''-倍[[上积]]重合，且关于乘法结构，''d''<sub>r</sub> 是[[导子#分次导子|（分次）导子]]，由 ''E''<sub>r</sub>-页的乘法结构诱导了 ''E''<sub>r</sub>-页的乘法结构。

== 同调谱序列 ==
类似于上同调谱序列，有同调谱序列：

:''E''<sup>2</sup><sub>''pq''</sub> = ''H''<sub>''p''</sub>(''B'', ''H''<sub>''q''</sub>(''F'')) <math>\Rightarrow</math> ''H''<sub>''p+q''</sub>(''E''),

这里的记号与上一节对偶。

这事实上是更一般的[[单纯集]]的纤维化的塞尔谱序列的一个特例。如果 ''f'' 是一个单纯集的纤维化（一个[[阚纤维化]]（{{le|Kan fibration}}）），使得 <math>\pi_1(B)</math>，单纯集 ''B'' 的第一同伦群，消失，则有正好和上面一样的谱序列。（利用将任何拓扑空间的单纯形相伴为一个拓扑空间的纤维化的函子，我们得到上面的序列）。

== 参考文献 ==
塞尔谱序列包含于代数拓扑学的一般教材中，例如：

* [[艾伦·海切尔|Allen Hatcher]], ''[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/SSAT/SSATpage.html The Serre spectral sequence] {{Wayback|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/SSAT/SSATpage.html |date=20140205050819 }}''
* [[埃德温·斯潘尼尔|Edwin Spanier]], ''Algebraic topology'', Springer

单纯集情形可参见：
* P. Goerss, R. Jardine, Simplicial homotopy theory, Birkhäuser

[[Category:代数拓扑]]
[[Category:谱序列]]