查看“︁塑膠數”︁的源代码

{{Infobox number
| range = <table style= "width:100%; margin:0;"><tr style="align:center;white-space: nowrap; ">
<td>[[數表]]—{{無理數}}</td>
</tr></table>
| image=[[File:Triangles in ratio of the plastic number in a three armed counter clockwise spiral.svg|200px]]<br/>
| name=塑膠數
| nav=no
| number={{math|''ρ''}}
| value=<math>\rho\approx</math>1.3247179572...
| root of=<math>x^3-x-1 = 0\,</math>
| symbol=<math>\rho</math>
| type=[[無理數]]
| OEIS=A060006
| 連分數=[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...]<ref>Sequence {{OEIS2C|A072117}} in the [[OEIS]]</ref>
| algebraic=<math>\sqrt[3]{\frac{9 + \sqrt{69}}{18}} + \sqrt[3]{\frac{9 - \sqrt{69}}{18}}</math>
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|1.324717957244746025960908854478|precision=24}}|4|…}}
| 八進制 = {{FractionalGaps|{{進制|8|1.324717957244746025960908854478|precision=24}}|4|…}}
| 十進制 = {{FractionalGaps|1.324717957244746025960908|4|…}}
| 十六進制 = {{FractionalGaps|{{進制|16|1.324717957244746025960908854478|precision=24}}|4|…}}}}
}}
'''塑膠數'''或'''銀數'''是一元[[三次方程]] <math>x^3 = x+1\,</math> 的唯一一個[[實數]]根，其值為

:<math>\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}</math>

約等於<math> 1.3247179572447460259609 </math> {{OEIS|id=A060006}}。

塑膠數對於[[佩蘭數列]]和[[巴都萬數列]]，就如[[黃金分割]]對於[[斐波那契數列]]——是兩項的比的極限。它亦是最小的[[皮索數]]。

== 塑膠數的來源 ==
塑膠數是方程<math>x^3 = x+1\,</math>的唯一實數根。

對於方程<math>x^3 = x+1\,</math>，現將等式右邊變為0，即

<math>x^3-x-1 = 0\,</math>

由勘根定理可判斷出該實根大小介於1與2之間，設

<math>x = \frac{\lambda}{y}+y\,</math>，

則

<math>y = \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{x^2-4\lambda}\,</math>

得到

<math>-1-y-\frac{\lambda}{y}+\left(y+\frac{\lambda}{y}\right)^3 = 0\,</math>

等式兩邊同時乘 <math>y^3 </math> 得

<math>y^6+y^4\left(3\lambda-1\right)-y^3+y^2\left(3\lambda^2-\lambda\right)+\lambda^3 = 0\,</math>

令<math>\lambda = \frac{1}{3}\,</math>，將其帶入上面方程，并設<math>z = y^3\,</math>，得到一個<math>z </math>的[[二次方程]]

<math>z^2-z+\frac{1}{27} = 0\,</math>

解得

<math>z = \frac{1}{18}\left(9+\sqrt{69}\right)\,</math>

根據<math>z = y^3\,</math>，得

<math>y^3 = \frac{1}{18}\left(9+\sqrt{69}\right)\,</math>

則<math>y </math>有實數解

<math>y = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\,</math>

根據<math>y </math>与<math>\lambda </math>的關係，得<math>y = \tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{2}\sqrt{x^2-\tfrac{4}{3}}\,</math>，得<math>x </math>的實數解

<math>x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\,</math>

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

{{mathstub}}

{{無理數導航}}

[[Category:無理數]]
[[Category:数学常数]]