查看“︁堆積”︁的源代码

{{Refimprove|time=2024-08-11T12:07:18+00:00}}
{{NoteTA
|G1= IT
|1 = zh-cn:堆; zh-tw:堆積;
}}
{{For2|地理學的堆積|[[堆積作用]]|名稱相近的資料結構|[[堆栈]]（{{Lang|en|Stack}}）}}
{{For|動態記憶體分配的heap區段|动态内存分配}}
{{各地中文名
|cn = 堆
|tw = 堆積
}}
'''堆'''（{{Lang|en|Heap}}）是[[计算机科学]]中的一種特別的[[完全二叉树]]。若是滿足以下特性，即可稱為堆積：「給定堆積中任意[[節點]]P和C，若P是C的母節點，那麼P的值會小於等於（或大於等於）C的值」。若母節點的值恆'''小於等於'''子節點的值，此堆積稱為'''最小堆積'''（{{Lang|en|min heap}}）；反之，若母節點的值恆'''大於等於'''子節點的值，此堆積稱為'''最大堆積'''（{{Lang|en|max heap}}）。在堆積中最頂端的那一個節點，稱作'''根節點'''（{{Lang|en|root node}}），根節點本身沒有'''父節點'''（{{Lang|en|parent node}}）。

堆積始於{{le|J. W. J. Williams}}在1964年發表的'''堆積排序'''（{{Lang|en|heap sort}}），當時他提出了二元堆積樹作為此演算法的資料結構。

==性质==
堆的实现通过构造'''二叉堆'''（binary heap），实为[[二叉树]]的一种；由于其应用的普遍性，当不加限定时，均指该数据结构的这种实现。这种数据结构具有以下性质。
* 任意节点小于（或大于）它的所有后裔，最小元（或最大元）在堆的根上（'''堆序性'''）。
* 堆总是一棵[[完全二叉树|完全树]]。即除了最底层，其他层的节点都被元素填满，且最底层尽可能地从左到右填入。
将根节点最大的堆叫做'''最大堆'''或'''大根堆'''，根节点最小的堆叫做'''最小堆'''或'''小根堆'''。

堆有許多種進階類型包含了適合製作雙端佇列的[[最大—最小堆|最大—最小堆積]]及製作優先權佇列的[[斐波那契堆|斐波那契堆積]]等。

== 支持的基本操作 ==

{| class="wikitable"
|-
! 操作 !! 描述 !! [[时间复杂度]]
|- 
| build || 採用[[罗伯特·弗洛伊德|羅伯特·弗洛伊德]]提出的較快方式建立堆 || <math>O(n)</math>
|-
| insert || 向堆中插入一个新元素 || <math>O(\log n)</math>
|-
| update || 将新元素提升使其符合堆的性质 || <math>O(\log n)</math>
|-
| get || 获取当前堆顶元素的值 || <math>O(1)</math>
|-
| delete || 删除堆顶元素 || <math>O(\log n)</math>
|-
| heapify || 使删除堆顶元素的堆再次成为堆 || <math>O(\log n)</math>
|}

某些堆实现还支持其他的一些操作，如斐波那契堆支持检查一个堆中是否存在某个元素。

[https://gallery.selfboot.cn/zh/algorithms/heap 堆的在线可视化页面]提供了多种堆操作的可视化演示。可以通过界面上的切换按钮在大根堆和小根堆之间自由切换，切换时系统会自动重新构建整个堆结构。<ref>[https://gallery.selfboot.cn/zh/algorithms/heap 堆的在线可视化页面]: 支持堆操作的可视化演示</ref>

可以在输入框中输入数字并点击"插入节点"按钮，就能观察新节点如何通过上浮（heapify up）操作找到其正确位置。

当点击"删除根节点"按钮时，可以看到堆顶元素被移除，以及最后一个节点如何通过下沉（heapify down）操作重建堆的平衡。删除的节点会在右侧短暂显示，随后会消失。

此外，该页面还提供了随机初始化功能，可以快速生成一个包含10到50个随机数值的新堆，方便进行各种测试和观察。

==示例代码==
为将元素X插入堆中，找到空闲位置，建立一个空穴，若满足'''堆序性'''（英文：'''heap order'''），则插入完成；否则将[[二叉树|父节点]]元素装入空穴，删除该父节点元素，完成空穴上移。直至满足堆序性。这种策略叫做'''上滤'''（percolate up）。<ref name="定义">《数据结构与算法分析》Mark Allen Weiss（美）第六章，优先队列（堆）。</ref>
<syntaxhighlight lang="c" style="overflow:hidden" line="1">
void Insert( ElementType X, PriorityQueue H ) {
    int i;
    if (IsFull(H)) {
        printf("Queue is full.\n");
        return;
    }
    for (i = ++H->Size; H->Element[i / 2] > X; i /= 2)
        H->Elements[i] = H->Elements[i / 2];
    H->Elements[i] = X;
}
</syntaxhighlight>
以上是插入到一个二叉堆的过程。

<code>DeleteMin</code>，删除最小元，即二叉树的根或父节点。删除该节点元素后，队列最后一个元素必须移动到堆得某个位置，使得堆仍然满足堆序性质。这种向下替换元素的过程叫作'''下滤'''。
<syntaxhighlight lang="c" style="overflow:hidden" line="1">
ElementType DeleteMin(PriorityQueue H) {
    int i, Child;
    ElementType MinElement, LastElement;
    if (IsEmpty(H)) {
        printf("Queue is empty.\n");
        return H->Elements[0];
    }
    MinElement = H->Elements[1];
    LastElement = H->Elements[H->Size--];
    for (i = 1; i * 2 <= H->Size; i = Child) {
        // Find smaller child.
        Child = i * 2;
        if (Child != H->Size && H->Elements[Child + 1]
                <  H->Elements[Child])
            Child++;
        // Percolate one level.
        if (LastElement > H->Elements[Child])
            H->Elements[i] = H->Elements[Child];
        else
            break;
    }
    H->Elements[i] = LastElement;
    return MinElement;
}
</syntaxhighlight>

== 应用 ==
=== 堆排序 ===
{{main|堆排序}}
堆（通常是二叉堆）常用于排序。这种算法称作[[堆排序]]。
=== 事件模拟 ===
主要运用堆的排序以选择优先。

=== 優先權佇列 ===
在[[队列]]中，调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的最佳数据结构。<ref name="定义" />

=== 戴克斯特拉演算法 ===
在[[戴克斯特拉算法|戴克斯特拉演算法]]中使用[[斐波那契堆|斐波那契堆積]]或二元堆可使得佇列的操作更為快速。

==参考==
<references />

== 参见 ==
* [[二叉堆]]
* [[二项式堆]]
* [[最小-最大堆]]
* [[斐波纳契堆]]
* [[数据结构]]

{{-}}
{{Data structures}}
{{计算机科学中的树}}

[[Category:数据结构|D]]
[[Category:树结构]]
[[Category:堆| ]]