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在[[数论]]中，'''堆垒数论'''（additive number theory）也稱為'''堆疊數論'''或'''加性數論'''，研究[[整數]]的子集合，以及其在[[加法]]下的特性。堆垒数论的領域也包括對於有加法的[[阿贝尔群]]及{{link-en|交換半群|commutative semigroup}}的研究。堆垒数论和組合数论及[[几何数论]]有密切的關係。其中主要研究的二個物件分別是阿贝尔群''G''中二個子集''A''及''B''的[[和集]]

:<math>A + B = \{a+b : a \in A, b \in B\}</math>,

以及A的h重[[和集]]

:<math>hA = \underset{h}{\underbrace{A + \cdots + A}}.</math>

有二個主要的子領域，描述如下。

==堆垒数论==
此領域主要關注整數的直接問題，也就是由''A''的結構來判斷''hA''的結構。例如假設''A''是個固定的子集，判斷哪些元集可以表示為''hA''的和<ref>Nathanson (1996) II:1</ref>。此領域有二個經典的問題，一個是[[哥德巴赫猜想]]（猜想2''P''包括了所有大於2的偶數，其中''P''為[[質數]]）以及[[華林問題]]（確認''h''要多大才能確保''hA<sub>k</sub>''包括所有正整數，其中 

:<math>A_k=\{0^k,1^k,2^k,3^k,\ldots\}</math> 

是k次方的集合）。其中許多問題都使用了源自[[哈代-李特爾伍德圓法]]及[[筛法]]的工具。例如Vinogradov證明了每一個夠大的奇數都可以表示為三個質數的和，以及所有夠大的偶數都可以表示都可以表示為四個質數的和。希爾伯特證明，對於每一個大於1的整數''k''，每一個非負整數都是有限個''k''次方數的和。一般而言，非負整數的集合''A''，若可以讓''hA''包括所有的正整數，''A''會稱為''h''階的基底（basis of order ''h''），若''hA''包括所有夠大的整數，''A''會稱為漸近基底（asymptotic basis）。許多近期的研究是關注有限階漸近基底的一般特性。例如，若集合''A''是''h''階漸近基底，而集合''A''的真子集都不是''h''階漸近基底，則集合''A''稱為''h''階的最小漸近基底。<!--It has been proved that minimal asymptotic bases of order ''h'' exist for all ''h'', and that there also exist asymptotic bases of order ''h'' that contain no minimal asymptotic bases of order ''h''.--->而{{link-en|埃尔德什-图兰堆垒基猜想|Erdős–Turán conjecture on additive bases}}也是有關漸近基底的猜想。

==加性組合學==
<!--{{main|Arithmetic combinatorics}}--->
第二個領域主要是關注反問題，多半是和多個比整數範圍要廣的群有關，假設已知''A''+''B'' sumset的資訊，目的是要找到個別集合''A''和''B''的資訊<ref>Nathanson (1996) II:6</ref>。（最近此子領域常用的名稱為加性組合學）。和上述有關基底的問題不同，此領域處理的多半是有限個子集而不是無限個。典型的問題是二個子集的sumset有很小的[[势 (数学)|势]]（和|''A''|和|''B''|相比），二個子集有什麼樣的結構。在整數的例子中，經典的{{link-en|Freiman問題|Freiman's theorem}}用{{link-en|多維算術級數|multi-dimensional arithmetic progression}}提供了有力的部分答案。另一個典型的問題是要將|''A''+''B''|的下限以|''A''|和|''B''|來表示<!--(this can be viewed as an inverse problem with the given information for ''A''+''B'' being that |''A''+''B''| is sufficiently small and the structural conclusion then being that either ''A'' or ''B'' is the empty set; such problems are often considered direct problems as well).--->。這類問題的例子有{{le|Erdős–Heilbronn猜想|Erdős–Heilbronn Conjecture}}（針對{{le|restricted sumset|restricted sumset}}）及{{link-en|柯西–達文波特定理|Cauchy–Davenport theorem}}。用來解決這類問題的方式來自各數學領域，例如組合學、[[遍历理论]]、[[分析]]、[[图论]]、[[群论]]、線性代數及多項式法。

==相關條目==
*[[沙普利－福克曼引理]]：研究實向量空間子集的和集。
*{{link-en|乘性數論|Multiplicative number theory}}

==參考資料==
{{reflist}}
*{{ cite book
|author=Henry Mann 
|title=Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory
|publisher= Robert E. Krieger Publishing Company
|location=Huntington, New York
|year=1976
|edition=Corrected reprint of 1965 Wiley
|isbn=0-88275-418-1}}
* {{cite book | first=Melvyn B. | last=Nathanson | title=Additive Number Theory: The Classical Bases | volume=164 | series=Graduate Texts in Mathematics | publisher=Springer-Verlag | year=1996| isbn=0-387-94656-X | zbl=0859.11002 }}
* {{cite book | first=Melvyn B. | last=Nathanson | title=Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets | volume=165 | series=Graduate Texts in Mathematics | publisher=Springer-Verlag | year=1996 | isbn=0-387-94655-1 | zbl=0859.11003 }}
* {{cite book | title=Additive Combinatorics | volume=105 | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics| first1=Terence | last1=Tao | first2=Van | last2=Vu | publisher=Cambridge University Press | year=2006  }}

==外部連結==
* {{springer|title=Additive number theory|id=p/a010680}}
* {{Mathworld|title=Additive Number Theory|urlname=AdditiveNumberTheory}}

[[Category:加性数论|*]]