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[[File:Basis graph.svg|thumb|right|250px|在'''''R'''<sup>2</sup>''中标准基的图示。红蓝向量是这个基的元素。]]
{{Linear algebra}}
在[[线性代数]]中，'''基'''（{{lang-en|basis，又稱'''基底'''}}）是向量空间裡某一群特殊的向量（称为'''基向量'''），使得向量空间中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的[[线性组合]]（或線性組合的[[極限 (數列)|極限]]）。

通过基底可以直接地描述向量空间 <math>\mathrm{V}</math> 上定义的[[线性映射]] <math>f</math> ，詳請參見[[线性映射#矩陣]]一節。

== 定义 ==
=== Hamel基 ===
{{math_theorem
| name = Hamel基的定義
| math_statement = <math>\mathrm{V}</math> 是定义在[[域 (数学)|域]] <math>K</math>（也就是标量的母空間，如[[实数|实数系]] <math>\mathbb{R}</math> 或[[复数 (数学)|复数系]] <math>\mathbb{C}</math>）上的向量空间，如果 <math>\mathrm{V}</math> 的子集 <math>\mathfrak{B}</math> 满足：

# <math>0_V \notin \mathfrak{B}</math> （也就是[[零向量]]不會在 <math>\mathfrak{B}</math> 裡）
# 若 <math>v \in \mathrm{V}</math> 且 <math>v \neq 0_V</math>，則存在唯一的一組相異向量 <math>e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}</math> 和唯一的一組'''非零'''标量 <math>\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K</math> 使得 <math>\lambda_1 \cdot e_1 + \lambda_2 \cdot e_2 + \cdots + \lambda_n \cdot e_n = v</math> 。

则稱 <math>\mathfrak{B}</math> 是向量空间 <math>\mathrm{V}</math> 的一组'''Hamel基'''。<math>\mathfrak{B}</math> 裡的元素被稱為'''基向量''' ，若基向量的總數是有限個，<math>\mathfrak{B}</math> 則會被稱為'''有限基'''或直接簡稱為'''基'''。
}}

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條<ref>柯斯特利金.代数学引论（第二版）[M]高等教育出版社:53</ref>：
{| cellpadding="10"
|[[線性無關|线性无关]](linear independence)
|對任意相異的<math>e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}</math> 和任意的 <math>\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K</math>，若 <math>\lambda_1 \cdot e_1 + \lambda_2 \cdot e_2 + \cdots + \lambda_n \cdot e_n = 0_V</math>，则<math>\lambda_1= \lambda_2=\ldots =\lambda_n =0_K</math>
|-
|生成律(spanning property)
|对任意<math>v \in \mathrm{V}</math>，存在相異向量 <math>e_1,\, e_2,\,\ldots ,\, e_n \in \mathfrak{B}</math>和标量 <math>\lambda_1,\, \lambda_2,\,\ldots ,\, \lambda_n \in K</math> 使得 <math>\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n = v</math>
|}
等價性來自於線性無關：

若有第二組相異 <math>E_1,\, E_2,\,\ldots ,\, E_m \in \mathfrak{B}</math> 基向量和第二組标量 <math>c_1,\, c_2,\,\ldots ,\, c_m \in K</math> 也滿足 <math>c_1 \cdot E_1 + c_2 \cdot E_2 + \cdots + c_m \cdot E_m = v</math> 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 <math>w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B}</math> ，其他不重複的部分，第一組的記為 <math>v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B}</math> ；而第二組的記為 <math>u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B}</math> ；然後設 <math>w_1,\, w_2,\,\ldots ,\, w_l \in \mathfrak{B}</math> 於原來第一組對應的标量係數是 <math>\alpha_1,\, \alpha_2,\,\ldots ,\, \alpha_l \in K</math> ；原第二組則是對應  <math>a_1,\, a_2,\,\ldots ,\, a_l \in K</math> 。另外 <math>v_1,\, v_2,\,\ldots ,\, v_{n-l} \in \mathfrak{B}</math> 對應的标量係數則為 <math>\beta_1,\, \beta_2,\,\ldots ,\, \beta_{n-l} \in K</math> ；<math>u_1,\, u_2,\,\ldots ,\, u_{m-l} \in \mathfrak{B}</math> 對應的标量係數則為 <math>b_1,\, b_2,\,\ldots ,\, b_{m-l} \in K</math> ； 這樣把 <math>v \in \mathrm{V}</math> 的第一組線性組合表達式減去第二組會有

: <math>\sum^{l}_{i=1}(\alpha_i-a_i)\cdot w_i
+\sum^{n-l}_{j=1} \beta_j \cdot v_j
+\sum^{m-l}_{k=1} (-b_k) \cdot u_k
= 0_V</math>

這樣依據線性無關，就有

: <math>\alpha_1-a_1 = \alpha_2-a_2 = \cdots = \alpha_l-a_l = 0_K</math>

:<math>\beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_{n-l} = 0_K</math>

:<math>b_1 = b_2 = \cdots = b_{m-l} = 0_K</math>

這就確保任意 <math>v \in \mathrm{V}</math> 的線性組合表達式都是用同一組的基向量，且其标量係數也是唯一的。

=== Schauder基 ===
除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

{{math_theorem
|name=Schauder基的定義
|math_statement=
<math>\mathrm{V}</math> 是定义在[[域 (数学)|域]] <math>K</math> 上的[[巴拿赫空间]]（[[范数]]記為<math>\|v\|</math>），若向量序列 [[序列|<math>{\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}</math>]] 滿足：

* 對所有[[自然数]] [[序列|<math>i\in\N</math>]]  ，[[序列|<math>e_i \neq 0_V</math>]] （也就是[[零向量]]不會在 [[序列|<math>{\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}</math>]] 裡）
* 對每個 <math>v \in \mathrm{V}</math> ，都存在唯一組标量[[序列|<math>{\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}</math>]]，使得對所有的 <math>\epsilon > 0 </math> ，存在 <math>m\in\Z^+ </math> 使得 <math>n\in\N </math> 且 <math>n>m </math> 則 <math>\left\|\sum^n_{i=0}\lambda_i\cdot e_i - v\right\|<\epsilon</math> （仿造[[極限 (數列)|數列極限]]而定義）

那向量序列 [[序列|<math>{\{e_i \in V\}}_{i\in\mathbb{N}}</math>]] 則被稱為是向量空间 <math>\mathrm{V}</math> 的一组'''Schauder基'''。
}}

第二項條件通常會簡寫為

: 對每個 <math>v \in \mathrm{V}</math> ，都存在唯一組标量[[序列|<math>{\{\lambda_i \in K\}}_{i\in\mathbb{N}}</math>]]，使 <math>v=\lim_{n\to\infty}\sum^{n}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i</math>

甚至寫為

: <math>v=\sum^{\infty}_{i=0} \lambda_i \cdot e_i</math>

===例子===

在[[傅立叶级数]]的研究中，函数<math>\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}</math>是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的（实数或复数值）的函数的（实数或复数）向量空间的“正交基”，这种函数<math>f(x)</math>满足

:<math>\int_0^{2\pi} \left|f(x)\right|^2\,dx<\infty.</math>

函数族<math>\{1\}\cup\{\sin(nx),\cos(nx)|n\in\mathbb{N}\}</math>是线性无关的，所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”，在如下意义上

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}\biggl|a_0+\sum_{k=1}^n \bigl(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\bigr)-f(x)\biggr|^2\,dx=0</math>

对于适合的（实数或复数）系数''a''<sub>''k''</sub>, ''b''<sub>''k''</sub>。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合，因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值，而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。

== 維度 ==
<!--有限維則基向量個數固定的定理和證明闕漏中，其核心為 Steinitz exchange lemma。-->
如果基中元素个数[[有限]]，就称向量空间为有限维向量空间，並将元素的个数称作向量空间的'''维度'''<ref>{{Cite book|title=Linear algebra|last=Lang|first=Serge|publisher=New York: Springer-Verlag|year=1987|isbn=978-0-387-96412-6|location=Berlin}}</ref>。如果原本的基底為：

:<math>\mathfrak{B} = \left\{e_1,\,e_2,\ldots,\,e_N\right\}</math>

那時也可依據[[基数 (数学)|元素個數]]的數數是以[[单射|一對一對應]]來定義的本質，反過來用基向量[[序列]] [[序列|<math>{\{e_i \in V\}}^{N}_{i=1}</math>]] 來間接代表<math>\mathfrak{B}</math>。

事实上，不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中，如果承认[[选择公理]]，就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组，但同一个空间的两组不同的基，它们的元素个数或[[势_(数学)|势]]（当元素个数是无限的时候）会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是[[线性无关]]的；反之，如果向量空间拥有一组基，那么在向量空间中取一组线性无关的向量，一定能得到一组基。特别地，在[[内积空间|内积向量空间]]中，可以定义[[正交]]的概念。通过特别的方法，可以将任意的一组基变换成正交基乃至[[标准正交基]]。

== 性质 ==
设<math>\mathfrak{B}</math>是向量空间<math>\mathrm{V}</math>的子集。则<math>\mathfrak{B}</math>是基，[[当且仅当]]满足了下列任一条件：
* <math>\mathrm{V}</math>是<math>\mathfrak{B}</math>的极小生成集，就是说只有<math>\mathfrak{B}</math>能生成<math>\mathrm{V}</math>，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
* <math>\mathfrak{B}</math>是<math>\mathrm{V}</math>中线性无关向量的极大集合，就是说<math>\mathfrak{B}</math>在<math>\mathrm{V}</math>中是线性无关(線性獨立)集合，而且<math>\mathrm{V}</math>中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
* <math>\mathrm{V}</math>中所有的向量都可以按唯一的方式表达为<math>\mathfrak{B}</math>中向量的线性组合。如果基是有序的，则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。

如果承认[[良序定理]]或任何[[选择公理]]的等价物，那么作为推论，可以证明任何的向量空间都拥有一组基。（证明：良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的[[基数 (数学)|势]]（元素个数），叫做这个向量空间的[[维度]]。这个结果叫做维度定理，它要求系统承认严格弱形式的选择公理即[[超滤子引理]]。

=== 例子 ===

*考虑所有坐标 (''a'', ''b'')的向量空间'''R'''<sup>2</sup>，这里的''a''和''b''都是实数。则非常自然和简单的基就是向量'''e'''<sub>1</sub> = (1,0)和'''e'''<sub>2</sub> = (0,1):假设''v'' = (''a'', ''b'')是'''R'''<sup>2</sup>中的向量，则''v'' = ''a'' (1,0) + ''b''(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2)，也形成'''R'''<sup>2</sup>的一个基。

*更一般的说，给定自然数''n''。''n''个线性无关的向量'''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>可以在实数域上生成'''R'''<sup>''n''</sup>。因此，它们也是的一个基而'''R'''<sup>''n''</sup>的维度是''n''。这个基叫做'''R'''<sup>''n''</sup>的[[标准基]]。

*设''V''是由函数''e''<sup>''t''</sup>和''e''<sup>2''t''</sup>生成的[[实数]]向量空间。这两个函数是线性无关的，所有它们形成了''V''的基。

*设'''R'''[x]指示所有实数[[多项式]]的向量空间；则 (1, x, x<sup>2</sup>, ...)是'''R'''[x]的基。'''R'''[x]的维度的[[势 (数学)|势]]因此等于<math>\aleph_0</math>.

== 标准基 ==
在'''行向量空间'''<math>\R^n</math>中有'''单位行向量'''

<small><math>E_{(1)}=(1,0,...,0),E_{(2)}=(0,1,...,0),...,E_{(n)}=(0,0,...,1)</math></small>

那么在该空间中，任意向量<math>X=(x_1,x_2,...,x_n)</math>,都可以'''唯一'''表示成<math>X=x_1E_{(1)}+x_2E_{(2)}+...+x_nE_{(n)}</math>.然后我们可以看出，<math>\R^n</math>可以由它的向量子空间构成

<small><math>\R^n</math><math>=<E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}></math></small>.

同样的，'''单位列向量'''就可以表达为<small><math>\R^n</math><math>=[E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}]</math></small>.

[[线性无关]]的单位行向量<small><math>E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}</math></small>生成<math>\R^n</math>. 那么<small><math>{E_{(1)},E_{(2)},...,E_{(n)}}</math></small>是<math>\R^n</math>的基，称这个基为'''标准基'''.

== 基的扩张 ==
如上所述，一个向量空间的每一组基都是一个极大的线性无关集合，同时也是极小的生成集合。可以证明，如果向量空间拥有一组基，那么每个线性无关的子集都可以扩张成一组基（也称为基的扩充定理），每个能够生成整个空间的子集也必然包含一组基。特别地，在任何线性无关集合和任何生成集合之间有一组基。以数学语言来说：如果<math>\mathfrak{L}</math>是在向量空间<math>\mathrm{V}</math>中的一个线性无关集合而集合<math>\mathfrak{G}</math>是一个包含<math>\mathfrak{L}</math>而且能够生成<math>\mathrm{V}</math>的集合，则存在<math>\mathrm{V}</math>的一组基<math>\mathfrak{B}</math>，它包含了<math>\mathfrak{L}</math>而且是<math>\mathfrak{G}</math>的子集：<math>\mathfrak{L} \subseteq \mathfrak{B} \subseteq \mathfrak{G}</math>。

以上两个结论可以帮助证明一个集合是否是给定向量空间的基。如果不知道某个向量空间的维度，证明一个集合是它的基需要证明这个集合不仅是线性无关的，而且能够生成整个空间。如果已知这个向量空间的维度（有限维），那么这个集合的元素个数必须等于维数，才可能是它的基。在两者相等时，只需要证明这个集合线性无关，或这个集合能够生成整个空间这两者之一就够了。这是因为线性无关的子集必然能扩充成基；而这个集合的元素个数已经等于基的元素个数，需要添加的元素是0个。这说明原集合就是一组基。同理，能够生成整个空间的集合必然包含一组基作为子集；但假如这个子集是真子集，那么元素个数必须少于原集合的元素个数。然而原集合的元素个数等于维数，也就是基的元素个数，这是矛盾的。这说明原集合就是一组基。

== 有序基和坐标 ==
基底是作为向量空间的子集定义的，其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论，通常会将基向量进行排列。比如说将：<math>\mathfrak{B} =\{ e_1, e_2 , \cdots , e_n \} </math>写成有序向量组：<math> ( e_1, e_2 , \cdots , e_n ) </math>。这样的有序向量组称为'''有序基'''。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中，都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用确定的数组表示，称为向量的[[坐标]]。例如，在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标，这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下，有序基可以看作是向量空间的坐标架。

设<math>\mathrm{V}</math>是在[[域 (数学)|域]]<math>\mathbb{F}</math>上的''n''维向量空间。在<math>\mathrm{V}</math>上确定一个有序基等价于确定一个从[[坐标空间]]<math>\mathbb{F}^n</math>到<math>\mathrm{V}</math>的一个选定[[同构|线性同构]]<math>\phi</math>。

''证明''：这个证明利用了<math>\mathbb{F}^n</math>的标准基是有序基的事实。

首先假设
:<math>\phi : \; \; \mathbb{F}^n \rightarrow \mathrm{V}</math>是线性同构。可以定义<math>\mathrm{V}</math>的一组有序基<math>\{v_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}</math>如下：
: <math> v_i = \phi (e_i) , \; \; \forall i, \; 1\leqslant i \leqslant n . </math>
其中的<math>\{e_i \}_{1\leqslant i \leqslant n}</math>是<math>\mathbb{F}^n</math>的标准基。

反过来说，给定一个有序基，考虑如下定义的映射
: ''φ''(''x'') = ''x''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>''v''<sub>2</sub> + ... + ''x''<sub>''n''</sub>''v''<sub>''n''</sub>,
这里的''x'' = ''x''<sub>1</sub>'''e'''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>'''e'''<sub>2</sub> + ... + ''x''<sub>''n''</sub>'''e'''<sub>''n''</sub>是'''F'''<sup>''n''</sup>的一个元素。不难检查出''φ''是线性同构。

这两个构造明显互逆。所以''V''的有序基一一对应于线性同构'''F'''<sup>''n''</sup> → ''V''。

确定自有序基{''v''<sub>''i''</sub>}线性映射''φ''的逆映射为''V''装备了坐标：如果对于向量''v'' ∈ ''V'', ''φ''<sup>-1</sup>(''v'') = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>,...,''a''<sub>''n''</sub>) ∈ '''F'''<sup>''n''</sup>，则''a''<sub>''j''</sub> = ''a''<sub>''j''</sub>(''v'')的分量是''v''的坐标，在''v'' = ''a''<sub>1</sub>(''v'') ''v''<sub>1</sub> + ''a''<sub>2</sub>(''v'') ''v''<sub>2</sub> + ... + ''a''<sub>''n''</sub>(''v'') ''v''<sub>''n''</sub>的意义上。

从向量''v''到分量''a''<sub>''j''</sub>(''v'')的映射是从''V''到'''F'''的线性映射，因为''φ''<sup>-1</sup>是线性的。所以它们是[[线性泛函]]。它们形成''V''的'''[[对偶空间]]'''的基，叫做'''对偶基'''。
== 参考文献 ==
<references />
== 参见 ==

*[[线性代数]]
*[[线性组合]]

==外部链接==
* [http://video.google.com/videoplay?docid=-7254479149869222300 MIT Linear Algebra Lecture on Bases] {{Wayback|url=http://video.google.com/videoplay?docid=-7254479149869222300 |date=20081208202228 }} at Google Video, from MIT OpenCourseWare

{{线性代数的相关概念}}
[[Category:線性代數|J]]