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{{noteTA
|G1=Electronics
|G2=物理學
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{{Otheruses|subject='''基爾霍夫電路定律'''|other=其他由[[古斯塔夫·基爾霍夫]]所命名的[[定律]]|基爾霍夫定律}}
[[File:Gustav Robert Kirchhoff.jpg|right|150px|thumb|[[古斯塔夫·基爾霍夫]]]]
'''基爾霍夫電路定律'''（{{lang|en|Kirchhoff Circuit Laws}}）簡稱為'''基爾霍夫定律'''，指的是兩條[[電路學]]定律，'''基爾霍夫電流定律'''與'''基爾霍夫電壓定律'''。它們涉及了[[電荷守恆定律|電荷的守恆]]及[[電勢]]的[[保守力|保守性]]。1845年，[[古斯塔夫·基爾霍夫]]首先提出基爾霍夫電路定律。現在，這定律被廣泛地應用於[[電機工程學]]。

從[[馬克士威方程組]]可以推導出基爾霍夫電路定律。但是，基爾霍夫並不是依循這條思路發展，而是從[[格奧爾格·歐姆]]的工作成果加以推廣得之。

==基爾霍夫電流定律==
[[File:KCL.png|right|200px|thumb|所有進入[[结点 (电路)|節點]]的電流的總和等於所有離開這節點的電流的總和。對於本圖案例，<math>i_1+i_4=i_2+i_3</math> 。]]
'''基爾霍夫電流定律'''又稱為'''基爾霍夫第一定律'''，表明<ref name=Alexander>{{Citation  | last = Alexander  | first = Charles  | last2 = Sadiku  | first2 = Matthew  | title = Fundamentals of Electric Circuits  | publisher = McGraw-Hill  | year = 2006  | edition = 3, revised  | pages =pp. 37-43  | isbn = 9780073301150}}</ref>：
{{quotation|所有進入某節點的電流的總和等於所有離開這節點的電流的總和。}}

或者，更詳細描述，
{{quotation|假設進入某節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則所有涉及這節點的電流的代數和等於零。}}

以方程式表達，對於電路的任意[[结点 (电路)|節點]]，
:<math>\sum_{k=1}^n i_k =0</math> ；

其中，<math>i_k</math> 是第 <math>k</math> 個進入或離開這節點的[[電流]]，是流過與這節點相連接的第 <math>k</math> 個[[電路|支路]]的電流，可以是[[實數]]或[[复数 (数学)|複數]]。

由於累積的電荷（單位為[[庫侖]]）是電流（單位為[[安培]]）與時間（單位為秒）的乘積，從[[電荷守恆定律]]可以推導出這條定律。其实质是稳恒电流的连续性方程，即根据电荷守恒定律，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和。<ref>普通物理学(修订版)（化学数学专业用）.汪昭义 主编.华东师范大学出版社.P<sub>320</sub>.9.3 基尔霍夫定律.ISBN 978-8-5617-0444-8</ref>

===導引===
思考電路的某節點，跟這節點相連接有 <math>n</math> 個支路。假設進入這節點的電流為正值，離開這節點的電流為負值，則經過這節點的總電流 <math>i</math> 等於流過支路 <math>k</math> 的電流 <math>i_k</math> 的代數和：
:<math>i=\sum_{k=1}^n i_k</math> 。

將這方程式積分於時間，可以得到累積於這節點的[[電荷]]的方程式：
:<math>q=\sum_{k=1}^n q_k</math> ；

其中，<math>q=\int_0^t i(t') \mathrm{d}t'</math> 是累積於這節點的總電荷，<math>q_k=\int_0^t i_k(t') \mathrm{d}t'</math> 是流過支路 <math>k</math> 的電荷，<math>t</math> 是檢驗時間，<math>t'</math> 是積分時間變數。

假設 <math>q>0</math> ，則正電荷會累積於節點；否則，負電荷會累積於節點。根據[[電荷守恆定律]]， <math>q</math> 是個常數，不能夠隨著時間演進而改變。由於這節點是個[[導體]]，不能儲存任何電荷。所以，<math>q=0</math> 、<math>i=0</math> ，基爾霍夫電流定律成立：
:<math>\sum_{k=1}^n i_k =0</math> 。

===含時電荷密度===
從上述推導可以看到，只有當電荷量為常數時，基爾霍夫電流定律才會成立。通常，這不是個問題，因為[[靜電力]]相斥作用，會阻止任何正電荷或負電荷隨時間演進而累積於節點，大多時候，節點的淨電荷是零。

不過，[[電容器]]的兩塊導板可能會允許正電荷或負電荷的累積。這是因為電容器的兩塊導板之間的空隙，會阻止分別累積於兩塊導板的異性電荷相遇，從而互相抵消。對於這狀況，流向其中任何一塊導板的電流總和等於電荷累積的速率，而不是零。但是，若將[[位移電流]] <math>\mathbf{J}_D</math> 納入考慮，則基爾霍夫電流定律依然有效。詳盡細節，請參閱條目[[位移電流]]。只有當應用基爾霍夫電流定律於電容器內部的導板時，才需要這樣思考。若應用於[[電路分析]]（{{lang|en|circuit analysis}}）時，電容器可以視為一個整體元件，淨電荷是零，所以原先的電流定律仍適用。

由更技術性的層面來說，取[[散度]]於馬克士威修正的[[安培定律]]，然後與[[高斯定律]]相結合，即可得到基爾霍夫電流定律：
:<math>\nabla \cdot \mathbf{J} = -\epsilon_0\nabla \cdot \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math> ；

其中，<math>\mathbf{J}</math> 是[[電流密度]]，<math>\epsilon_0</math> 是[[電常數]]，<math>\mathbf{E}</math> 是[[電場]]，<math>\rho</math> 是電荷密度。

這是電荷守恆的[[微分方程式]]。以[[積分]]的形式表述，從封閉表面流出的電流等於在這封閉表面內部的電荷 <math>Q</math> 的流失率：
:<math>\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} = -\frac{ \mathrm{d} Q}{ \mathrm{d} t}</math> 。

基爾霍夫電流定律等價於電流的散度是零的論述。對於不含時電荷密度 <math>\rho</math> ，這定律成立。對於含時電荷密度，則必需將位移電流納入考慮。

===應用===
以[[矩陣]]表達的基爾霍夫電流定律是眾多[[電路模擬軟件]]（{{lang|en|electronic circuit simulation}}）的理論基礎，例如，[[集成电路通用模拟程序|SPICE]]或[[NI Multisim]]。

==基爾霍夫電壓定律==
[[File:KVL.png|right|250px|thumb|沿著閉合迴路所有元件兩端的電壓的代數和等於零。對於本圖案例，<math>v_1+v_2+v_3-v_4=0</math> 。]]
'''基爾霍夫電壓定律'''又稱為'''基爾霍夫第二定律'''，表明<ref name=Alexander />：
{{quotation|沿著閉合迴路所有元件兩端的電勢差（電壓）的代數和等於零。}}
或者，換句話說，
{{quotation|沿著閉合迴路的所有電動勢的代數和等於所有電壓降的代數和。}}

以方程式表達，對於電路的任意閉合迴路，
:<math>\sum_{k=1}^m v_k = 0</math> ；

其中，<math>m</math> 是這閉合迴路的元件數目，<math>v_k </math> 是元件兩端的電壓，可以是實數或複數。

基尔霍夫电压定律不仅应用于闭合回路，也可以把它推广应用于回路的部分电路。{{clarify}}

===電場與電勢===
在[[靜電學]]裏，[[電勢]]定義為[[電場]]的負[[線積分]]：
:<math>\phi(\mathbf{r})\stackrel{def}{=} - \int_\mathbb{L} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\!</math> ；

其中，<math>\phi(\mathbf{r})</math> 是電勢，<math>\mathbf{E}</math> 是電場，<math>\mathbb{L} </math> 是從參考位置到位置 <math>\mathbf{r}</math> 的路徑，<math>\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}</math> 是這路徑的微小線元素。

那麼，基爾霍夫電壓定律可以等價表達為：
:<math>\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = 0</math> ；

其中，<math>\mathbb{C}</math> 是積分的閉合迴路。

這方程式乃是[[法拉第電磁感應定律]]對於一個特殊狀況的簡化版本。假設通過閉合迴路 <math>\mathbb{C}</math> 的[[磁通量]]為常數，則這方程式成立。

這方程式指明，電場沿著閉合迴路 <math>\mathbb{C}</math> 的線積分為零。將這線積分切割為幾段支路，就可以分別計算每一段支路的電壓。

===理論限制===
由於含時電流會產生含時[[磁場]]，通過閉合迴路 <math>\mathbb{C}</math> 的[[磁通量]]是時間的函數，根據[[法拉第電磁感應定律]]，會有[[電動勢]] <math>\mathcal{E}</math> 出現於閉合迴路 <math>\mathbb{C}</math> 。所以，電場沿著閉合迴路 <math>\mathbb{C}</math> 的線積分不等於零。這是因為電流會將能量傳遞給磁場；反之亦然，磁場亦會將能量傳遞給電流。

對於含有[[電感器]]的電路，必需將基爾霍夫電壓定律加以修正。由於含時電流的作用，電路的每一個[[電感器]]都會產生對應的電動勢 <math>\mathcal{E}_k</math> 。必需將這電動勢納入基爾霍夫電壓定律，才能求得正確答案。

==頻域==
思考單頻率交流電路的任意節點，應用基爾霍夫電流定律
:<math>\sum_{k=1}^n i_k =\sum_{k=1}^n I_k\cos(\omega t+\theta_k)=\mathrm{Re}\Big\{\sum_{k=1}^n I_k e^{j(\omega t + \theta_k)} \Big\}=\mathrm{Re}\Big\{\left(\sum_{k=1}^n I_k e^{j\theta_k} \right)e^{j\omega t}\Big\}=0</math> ；

其中，<math>i_k</math> 是第 <math>k</math> 個進入或離開這節點的[[電流]]，<math>I_k</math> 是其[[振幅]]，<math>\theta_k</math> 是其[[相位]]，<math>\omega</math> 是角頻率，<math>t</math> 是時間。

對於任意時間，這方程式成立。所以，設定[[相量]] <math>\mathbb{I}_k=I_k e^{j\theta_k}</math> ，則可以得到頻域的基爾霍夫電流定律，以方程式表達，
:<math>\sum_{k=1}^n\mathbb{I}_k =0</math> 。

頻域的基爾霍夫電流定律表明：
{{quotation|所有進入或離開節點的電流[[相量]]的代數和等於零。}}

這是[[節點分析]]的基礎定律。

類似地，對於交流電路的任意閉合迴路，頻域的基爾霍夫電壓定律表明：
{{quotation|沿著閉合迴路所有元件兩端的電壓相量的代數和等於零。}}

以方程式表達，
:<math>\sum_{k=1}^m \mathbb{V}_k = 0</math> ；

其中，<math>\mathbb{V}_k </math> 是閉合迴路的元件兩端的電壓相量。

這是[[網目分析]]（{{lang|en|mesh analysis}}）的基礎定律。

==參見==
{{電路分析}}

==參考==
{{reflist|2}}
*{{cite book | author=Paul, Clayton R. | title=Fundamentals of Electric Circuit Analysis | url=https://archive.org/details/fundamentalsofel0000paul | publisher=John Wiley & Sons | year=2001 | id=ISBN 978-0-471-37195-3}}
*{{cite book | author=Serway, Raymond A.; Jewett, John W. | title=Physics for Scientists and Engineers (6th ed.) | publisher=Brooks/Cole | year=2004 | id=ISBN 978-0-534-40842-8}}
*{{cite book | author=Tipler, Paul | title=Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.) | url=https://archive.org/details/physicsforscient0002tipl | publisher=W. H. Freeman | year=2004 | id=ISBN 978-0-7167-0810-0}}

==外部連結==
*[[麻省理工學院]]電機工程系視聽教學：[http://academicearth.org/lectures/basic-circuit-analysis-method-kvl-and-kcl-mmethod 基爾霍夫定律] {{Wayback|url=http://academicearth.org/lectures/basic-circuit-analysis-method-kvl-and-kcl-mmethod |date=20100206090234 }}。
*[[國立交通大學]]物理系視聽教學：[http://ocw.nctu.edu.tw/riki_detail.php?pgid=24&cgid=5 電子學]{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}。
*[https://www.khanacademy.org/cs/kcl/1322338325 Kirchhoff's circuit laws] on Khan Academy

{{电磁学}}
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