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在[[代數拓撲]]中，'''基本群'''（或稱'''[[龐加萊]]群'''）是一個重要的[[同倫]]不變量。[[拓撲空間]]的基本群的元素是该空间中从某一點出发的環路的同倫等價類; 基本群的群運算是環路的同倫等价类的銜接运算。拓扑空间的基本形状, 或者孔洞的信息都可以在它的基本群中体现。所以基本群能用以研究兩個空間是否[[同胚]]，两个同胚的空间的基本群是[[群同構|同構]]的, 基本群也能分類一個[[連通空間]]的[[覆疊空間]]。关于拓扑空间<math>X</math> 的基本群的符号是<math>\pi_1(X)</math>。

基本群的推廣之一是[[同倫群]]。基本群是最初和最简单的[[同倫群]]。

==直觀詮釋：二維環面的情形==
[[File:Fundamental_group_torus1.png|180px|thumb|right|二維環面上由''p''點出發的環路]]

首先，讓我們考慮二維環面（或者可以想象成甜甜圈的表面）的例子作為熱身，固定其上一點<math>p</math>。

從此點出發，則可以建構'''環路'''（即：從<math>p</math>出發的並回到<math>p</math>的閉曲線）。設想環路如橡皮筋可自由變形與拉長，只要起點與終點仍是<math>p</math>  且環路仍處在環面上即可。這種變形叫做[[同倫]]，若一環路可以從另一環路藉此變形而得到，則稱兩者同倫等價。我們只探討環路的同倫類。二維環面的'''基本群'''由環路的同倫類組成。

[[File:Fundamental_group_torus2.png|180px|thumb|right|''a''與''b''非同倫等價]]

在上圖中，<math>a</math>與<math>b</math>並非同倫等價：無法連續地從一者變換到另一者而不將環路「扯斷」，它們代表基本群中的不同元素。藉著增加環繞圈數，可以獲得更多的同倫類。

[[File:Fundamental_group_torus3.png|180px|thumb|left|''a''、''b''兩條環路的銜接]]

顧名思義，基本群不只是一個集合，它帶還有[[群]]結構：二元運算由環路的銜接給出，即先走完第一條環路，再走第二條環路，使得兩段環路上的速率相同。基本群中的單位元素<math>e_P</math>由靜止在<math>p</math>點的環路代表，逆元由環路的逆行代表之，即：若一元素由環路<math>s: [0,1] \to \mathbb{T}^2</math>代表，則其逆元由<math> s \circ \tau: [0,1] \to \mathbb{T}^2</math>代表，其中<math>\tau (t) = 1-t \quad (t \in [0,1])</math>。

==形式定義==
設<math>X</math>為[[拓撲空間]]，<math>p</math>為其中定點。一條連續道路是一個連續映射<math>\gamma: [0,1] \to X</math>，而一個以<math>p</math>為基點的環路是一條滿足<math>\gamma(0)=\gamma(1)=p</math>的連續道路。以下若不另外說明，則環路皆以<math>p</math>為基點。

對兩條環路<math>\gamma_0, \gamma_1</math>，如果存在一個連續函數（保持基點的[[同倫]]）<math>H: \; [0,1]^2\to X</math>使得

* <math>\forall t \in [0,1], \, H(t,0) = \gamma_0(t) </math>
* <math>\forall t \in [0,1], \, H(t,1) = \gamma_1(t) </math>
* <math>\forall x \in [0,1], \, H(0,x) = H(1,x) = p </math>

則稱兩者同倫等價。
[[File:Homotopy of pointed circle maps.png|thumb|同伦的环路变化]]
不難驗證此關係確為[[等價關係]]。因此我們可考慮環路對此關係的等價類，以<math>[\gamma]</math>表一環路<math>\gamma</math>隸屬的等價類，亦稱同倫類。

現在定兩條環路<math>f, g</math>的銜接為：
<math>(f*g)(t)=\left\{\begin{matrix} f(2t), & \quad t\in[0,1/2] \\ g(2t-1), & \quad t\in[1/2,1]\end{matrix}\right.</math>

直觀地說，此環路是先走<math>f</math>再走<math>g</math>，每一段都將速度加倍，以在單位時間內走完全程。可證明<math>[f*g]</math>決定於<math>[f],[g]</math>，因此可在環路的同倫類上定義二元運算「*」。不難看出此運算滿足[[結合律]]。

令單位元<math>e_P</math>為環路<math>e_P(t)=p</math>（即靜止於<math>p</math>點的環路），並令環路<math>f: [0,1] \to X</math>之逆為<math>f^{-1}(t) = f(1-t)</math>（即<math>f</math>逆行）。可證明<math>[f] \mapsto [f^{-1}]</math>在同倫類上有明確定義，且同倫類在此運算下成為一個[[群]]。

此群稱為<math>X</math>在基點<math>p</math>的'''基本群'''，記為<math>\pi_1(X,p)</math>。

==例子==
* <math>\mathbb R^n</math>對任何基點的基本群皆為[[平凡群]]。換言之，每個環路都可以連續地變形到基點。這類空間稱為[[單連通]]空間。
* 當<math>n \geq 2</math>時，<math>\mathbb S^n</math>為單連通。
* 圓環<math>\mathbb S^1</math>之基本群為<math>\Z</math>。其元素一一對應於<math>e_m: t \mapsto e^{2i \pi mt}</math>，其中<math>m \in \Z</math>表示環路繞行圓環的次數（計入方向）；群運算由<math>[e_m] \cdot [e_n] = [e_{m+n}]</math>給出。一般而言，<math>n</math>維環面的基本群同構於<math>\Z^n</math>。
* 基本群也可能含撓元：例如[[射影空間|射影平面]]<math>\R P^2</math>的基本群便同構於<math>\Z/2\Z</math>。
* 基本群不一定可交換：例如挖去兩點的平面<math>\R^2  - \{a,b\}</math>的基本群同構於兩個生成元的自由群，生成元分別對應於繞行<math>a</math>與<math>b</math>的環路。

事實上，可以證明對任何群<math>G</math>皆存在一個拓撲空間，使其基本群同構於<math>G</math>（此空間可以用二維[[CW複形]]構造，當群為有限展示時則能以四維[[流形]]構造）。可以證明，每個群都是某個緊豪斯多夫空間的基本群當且僅當不存在[[可測基數]]。<ref>Adam Przezdziecki, Measurable cardinals and fundamental groups of compact spaces, Fundamenta Mathematicae 192 (2006), 87-92 [https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/192/1/89233/measurable-cardinals-and-fundamental-groups-of-compact-spaces] {{Wayback|url=https://www.impan.pl/en/publishing-house/journals-and-series/fundamenta-mathematicae/all/192/1/89233/measurable-cardinals-and-fundamental-groups-of-compact-spaces |date=20181118171934 }}</ref>

==基本性質==
===對基點的獨立性===
以下設<math>X</math>為[[道路連通]]空間。<math>p,q \in X</math>，則<math>\pi_1(X,p)</math>同構於<math>\pi_1(X,q)</math>。這是因為存在一條從<math>p</math>到<math>q</math>的道路<math>\gamma</math>，依之定義映射

: <math>   [\alpha] \mapsto [\gamma] * [\alpha] * [\gamma]^{-1} </math>

此映射給出從<math>\pi_1(X,q)</math>至<math>\pi_1(X,p)</math>的同構，其逆則為

: <math>[\alpha] \mapsto [\gamma]^{-1} * [\alpha] * [\gamma] </math>

由此可談論空間本身的基本群（两个基本群在同构的意义下相等），記為<math>\pi_1(X)</math>。'''基本廣群'''理論也'可以簡練地解釋基本群對基點的獨立性。

===對連續映射的函子性===
設<math>f</math>為空間<math>(X,p) \to (Y,q)</math>的[[同倫]]等價，則<math>\pi_1(f)</math>為同構。

'''推論'''.同胚的空間有相同的基本群。

===積空間的基本群===
<math>\pi_1(X \times Y, (p,q)) = \pi_1(X,p) \times \pi_1(Y,q)</math>

===與第一個同調群的關係===
道路連通空間的第一個[[同調]]群是基本群的交換化。這是Hurwitz定理的特例。

==計算方法與應用==
===范坎彭（van Kampen）定理===
基本群一般不易計算，因為須證明某些環路非同倫等價。當空間可分割為較單純的空間，而其基本群已知時，'''范坎彭定理'''（或'''[[塞弗特－范坎彭定理|塞弗特－范坎彭（Seifert-van Kampen）定理]]'''）可以將基本群表為一個[[極限 (範疇論)|歸納極限]]。

===錐定理與射影空間的基本群===
對一個拓撲空間<math>X</math>，定義其「錐」<math>CX := (I \times X)/(0 \times X)</math>，其中<math>I</math>表閉區間<math>[0,1]</math>。當<math>X = \mathbb{S}^1</math>時，<math>CX</math>同胚於圓錐。

道路連通空間的錐是單連通的，我們也有自然包含映射<math>X \simeq 1 \times X \subset CX</math>。

設<math>f: X \to Y</math>為連續映射，定義映射錐為
: <math>C(f) := \dfrac{C(X) \sqcup Y}{[1,x] \sim f(x)}</math>。

'''例子'''：設<math>f</math>為<math>\mathbb{S}^1</math>到自身的映射<math>z \mapsto z^2</math>，此時<math>C(f) = \R P^2</math>。

'''錐定理'''斷言<math>C(f)</math>的基本群同構於<math>\pi_1(Y)</math>對<math>f_*(\pi_1(Y))</math>的正規化的商

'''應用'''：實射影空間之基本群同構於<math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math>。

===圖、曲面與多面體的基本群===
* [[圖]]的基本群總是[[自由群]]。這點可藉著將圖沿其[[最小生成樹]]縮為一束<math>\mathbb{S}^1</math>看出。
* [[多面體]]的基本群可以展示為生成元與關係，使得每個關係由多面體的一個面給出。
* 可定向緊曲面的基本群帶一個有<math>2g</math>個生成元<math>a_1, b_1, \ldots, a_g, b_g</math>及一個關係<math>a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}a_2b_2a_2^{-1}b_2^{-1}\ldots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}=1</math>的展示。整數<math>g</math>決定於曲面的拓撲結構，稱為其[[虧格]]。

==基本群與覆疊空間==
基本群的子群的共軛類一一對應於空間的[[覆疊空間|覆疊]]的同構類，在此對應下，正規子群對應於伽羅瓦覆疊。

在[[覆疊空間]]理論中，業已證明了如果空間有[[單連通]]的覆疊空間（例如對局部單連通空間），則基本群同構於萬有覆疊空間的自同構群。

==推廣==
===基本廣群===
如果一個[[小範疇]]（即：對象與全體態射構成一集合）的所有態射皆可逆，則稱之為一個[[廣群]]。所有廣群與其間的函子構成一個範疇。群是只有一個對象的廣群。

設<math>G</math>為一廣群，對其對象定義下述等價關係：
: <math>x \sim \, y \iff \mathrm{Hom}(x,y) \neq \emptyset</math>
得到的商集記作<math>\pi_0(G)</math>（或曰'''連通分支'''），這是從廣群範疇到[[集合範疇]]的函子。

對每個拓撲空間，以下述方式函子地構造一廣群<math>\pi X</math>：

設<math>X</math>為拓撲空間，令<math>\pi X</math>的對象為<math>X</math>的點，從點<math>x</math>至<math>y</math>的態射是從<math>x</math>到<math>y</math>的[[道路 (拓扑学)|道路]]的同倫類。同倫等價關係相容於道路的頭尾相接，故定義了一個廣群<math>\pi X</math>，稱為<math>X</math>的'''基本廣群'''。

Van Kampen定理在廣群的框架下有簡練的表述。

設<math>G</math>為廣群，而<math>x</math>為其對象（也稱作<math>G</math>的點）。<math>\mathrm{Hom}(x,x)</math>在態射合成下成為一個群，記之為<math>\pi_1(G,x)</math>。註：由於基點選取問題，<math>\pi_1</math>並不能定義一個從廣群範疇到群範疇的函子。

一個拓撲空間的基本群可以用基本廣群定義為<math>\pi_1(X,x_0) := \pi_1(\pi X,x_0)</math>。

===高階同倫群===
基本群實則是第一個[[同倫群]]，這是符號<math>\pi_1(X,x_0)</math>中「1」的由來。

===代數幾何中的基本群===
基本群亦可抽象地定義為纖維[[函子]]的自同構群，此纖維函子對每個帶基點的覆疊映射<math>r: (Y,q) \to (X,p)</math>給出纖維<math>r^{-1}(p)</math>。

此定義可以推廣到[[代數幾何]]，而之前給出的環路定義則不可。在此我們將拓撲空間的覆疊映射代為[[平展態射]]，拓撲空間的基點代為[[概形]]上的一個幾何點<math>x</math>，而纖維函子<math>F</math>對一平展覆疊<math>f: Y \to X</math>給出幾何纖維<math>\mathrm{Hom}_X(x, Y)</math>。此推廣源出[[格羅滕迪克]]與[[夏瓦雷]]。

這套理論可以解釋[[函數域]]的[[伽羅瓦理論]]與[[黎曼曲面]]的覆疊理論之聯繫。

==文獻==
* Allen Hatcher, ''Algebraic Topology'' (2001), Cambridge University Press. ISBN 0521795400
* J. P. May, ''A Concise Course in Algebraic Topology'' (1999), Chicago University Press. ISBN 0226511839

==外部連結==
* [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Allen Hatcher, Algebraic Topology自由下載]{{Wayback|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html |date=20120206155217 }}
* [https://web.archive.org/web/20111002003232/http://www.istia.univ-angers.fr/~delanoue/topo_alg/ 基本群動畫展示]

[[Category:代數拓撲]]
[[Category:同伦论]]