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在[[模型论]]，给定在同一个语言 <math>L</math> 中的两个[[结构 (数理逻辑)|结构]] <math>M</math> 和 <math>N</math>，我们称 <math>M</math> 是 <math>N</math> 的'''基本子结构'''（{{lang-en|elementary substructure}}）{{notetag|有时表示为 <math>M<N \ </math>}}如果

1. <math>M</math> 是 <math>N</math> 的[[子模型|子结构]]，且

2. 对于所有[[多元组|有限元组]] <math>a\in M</math>，对于所有语言 <math>L</math> 的[[公式 (数理逻辑)|公式]] <math>\varphi(x)</math>，我们有 <math>M\models \varphi(a)</math> 当且仅当 <math>N\models \varphi(a)</math>。

我们称 <math>N</math> 是 <math>M</math> 的'''基本扩展'''当且仅当 <math>M</math> 是 <math>N</math> 的基本子结构。

== 等价条件 ==

有时对第二个条件使用一个等价的陈述。我们可以通过对所有 <math>m \in M</math> 增加一个常量符号 <math>c_m \ </math> 来扩展 <math>L</math> 为一个新语言 <math>L(M)</math>。那么 <math>M</math> 和 <math>N</math> 是解释每个 <math>c_m \ </math> 为 <math>m</math> 的 <math>L(M)</math> 的结构。

设 <math>\mathrm{Th}_{L(M)}(M) \ </math> 和 <math>\mathrm{Th}_{L(M)}(N) \ </math> 分别是在 <math>M</math> 和 <math>N</math> 中为真的 <math>L(M)</math>-句子的集合(称为它们的“基本图”)。那么上述条件 (2) 等价于陈述

:<math>\mathrm{Th}_{L(M)}(M) = \mathrm{Th}_{L(M)}(N) \ </math>.

[[塔斯基-沃特测试]]是给定一对 <math>M\subset N</math>，确定 <math>M</math> 是否是 <math>N</math> 的基本子结构的非常有用的必要和充分条件。

==注释==
{{notefoot}}
[[Category:模型论]]
[[en:Elementary_equivalence#Elementary_substructures_and_elementary_extensions]]