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{{Link style|time=2015-12-13T13:02:58+00:00}}
在[[数学]]上，每个闭[[曲面]]在[[几何拓扑]]的意义下，可以由一个偶数条边的[[定向 (数学)|有向]][[多边形]]，把它的边成对地粘合构造出来，这样的多边形称之为'''基本多边形'''（{{lang|en|fundamental polygon}}）。

[[File:Fundamental parallelogram.png|thumb|由一对向量定义的基本平行四边形，生成环面。]]

这个构造可以表示成一个长为2''n''的字符串，一共''n''个不同的符号，每个符号出现两次带有指数 +1或 -1。指数 -1的符号对应于该边的定向与基本多边形的定向相反。

==例子==
{| class=wikitable align=center 
|+曲面的基本多边形
| valign=top width=150 align=center|[[File:SphereAsSquare.svg|150px]]<BR>球面
| valign=top width=150 align=center|[[File:ProjectivePlaneAsSquare.svg|150px]]<BR>实球射影平面
| valign=top width=150 align=center|[[File:KleinBottleAsSquare.svg|150px]]<BR>克莱因瓶
| valign=top width=150 align=center|[[File:TorusAsSquare.svg|150px]]<BR>环面
|}
上图中标有相同字母的两条边，沿着箭头方向粘合。
* [[球面]]：<math>A A^{-1}</math>或<math>A B B^{-1} A^{-1};</math>
* [[实射影平面]]：<math>A A</math>或<math>A B A B;</math>
* [[克莱因瓶]]：<math>A B A B^{-1}</math>或<math>A A B B;</math>
* [[环面]]：<math>A B A^{-1} B^{-1}</math>或<math>A B C A^{-1} B^{-1} C^{-1}.</math>

==群生成元==
对标准对称形状，多边形的边可以理解为一个[[群]]的[[生成元]]。然后这个多边形，写成群元素形式，成为由这些边生成的[[自由群]]上一个[[约束 (数学)|约束]]，给出有一个约束的[[群呈示]]。

因此，例如给定欧几里得平面<math>\mathbb{R}^2</math>，设群元素<math>A</math>在这个平面上有作用<math>A(x,y)=(x+1,y)</math>而<math>B(x,y)=(x,y+1)</math>。则<math>A,B</math>生成[[格 (群)|格]]<math>\Gamma=\mathbb{Z}^2</math>，而环面由[[商空间]]给出（一个[[齐性空间]]）<math>T= \mathbb{R}^2 / \mathbb{Z}^2</math>。更一般地，两个生成元<math>A,B</math>可用来生成一个[[基本平行四边形]]的平行四边形镶嵌。

对环面，在两个字母的自由群上的约束由<math>A B A^{-1} B^{-1} = 1</math>给出。这个约束平凡地包含在如上给出的平面上的作用中。另外，平面可用[[六边形]]铺满，六边形的中心形成一个六边形格。将六边形的相对等同，又得到了环面。这一回约束是<math>A B C A^{-1} B^{-1} C^{-1} = 1</math>，刻划了[[六边形格]]生成元在平面上的作用。

在实际中，大部分有趣的情形是具有负[[曲率]]的曲面，由群<math>PSL(2,\mathbb{R})</math>中一个离散格作用在[[上半平面]]实现。这样的格称为[[富克斯群]]（[[:en:Fuchsian group|Fuchsian group]]）。

==标准基本多边形==
[[亏格]]''n''可定向闭曲面有如下标准基本多边形：
:<math>A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} = 1.\,</math>

（不可定向）亏格''n''的不可定向闭曲面有如下标准基本多边形：
:<math>A_1 A_1 A_2 A_2 \cdots A_n A_n.\,</math>

或者，不可定向曲面能由两种形式给出，亏格''n'' [[克莱因瓶]]与亏格''n'' [[实射影平面]]。亏格2''n''克莱因瓶由一个4''n''边形给出

:<math>A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n = 1,\,</math>

（注意最后的<math>B_n</math>没有上标 -1；与可定向情形比较，这个翻转是不可定向性的缘故）。亏格2''n''+1射影平面由一个4''n''+2边形给出

:<math>A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1} \cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1} C^2 = 1.\,</math>

最后两类情形穷尽了所有可能的不可定向曲面，这是[[昂利·庞加莱]]证明的。

==紧黎曼曲面的基本多边形==
一个（双曲）[[紧空间|紧]][[黎曼曲面]]的基本多边形有许多重要的性质，将曲面与它的[[富克斯模型]]（[[:en:Fuchsian model|Fuchsian model]]）联系起来。即一个双曲紧黎曼曲面可以[[上半平面]]做为[[万有覆叠]]，从而可以表示为一个[[商空间|商]][[流形]]'''H'''/Γ，这里  Γ是一个[[非阿贝尔群]]同构于曲面的[[万有覆叠|甲板变换群]]（{{lang|en|deck transformation group}}）。商空间的[[陪集]]有标准多边形做为代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

===度量基本多边形===
给定[[上半平面]]'''H'''中一点<math>z_0</math>，以及PSL(2,'''R''')一个离散[[子群]]Γ [[自由正则集合|自由不连续]]作用在上半平面，则我们可定义'''度量基本多边形'''（{{lang|en|metric fundamental polygon}}）为点集

:<math>F=\{z \in \mathbb{H} : d(z,z_0) < d(z,gz_0) \;\; \forall g\in \Gamma \}.\,</math>

这里''d''是上半平面的双曲[[度量空间|度量]]。度量基本多边形有时也称为'''狄里克雷区域'''（{{lang|en|Dirichlet region}}）或'''[[沃罗诺伊多边形]]'''（[[:en:Voronoi polygon|Voronoi polygon]]）。

* 这个基本多边形是一个[[基本区]]（[[:en:fundamental domain|fundamental domain]]）。
* 这个基本多边形是[[凸集]]，连接这个多边形的任何两点的[[测地线]]完全包含在多边形内部。
* ''F''的[[直径]]小于或等于'''H'''/Γ的直径。特别地，''F''的[[闭包]]紧。
* 如果Γ在'''H'''中没有[[不动点]]且'''H'''/Γ紧，则''F''的边数有限。
* 多边形的每条边是一个测地线。
* 对多边形的每条边''s''，恰有另外一条边''s' ''使得''gs=s' ''对某个''g''属于Γ。从而这个多边形有偶数条边。
* 将边两两连接的群元素集合''g''是Γ的[[群的生成集合|生成元]]，没有更小的集合可生成Γ。
* ''F''的闭包在Γ的作用下铺满上半平面。即<math>H=\cup_{g\in\Gamma}\, g\overline{F}</math>这里<math>\overline{F}</math>是''F''的闭包。

===标准基本多边形===
给定任何度量基本多边形''F''，用有限步可以构造另一个基本多边形，'''标准基本多边形'''（{{lang|en|standard fundamental polygon}}），它具有额外一组值得注意的性质：

* 标准多边形的[[頂點 (幾何)|顶点]]都是等价的。“顶点”是说两条边相交的点。“等价”意味着每个顶点可以由Γ中某个''g''变到任何其它一个顶点。
* 边数可被4整除。
*  Γ中一个给定元素''g''至多将多边形的一条边变到另一边。从而这些边可以成对标记出来。由于Γ的作用保持定向，如果一条边为<math>A</math>，则这一对中另一个可以标记为相反的方向<math>A^{-1}</math>。 
* 可以安排标准多边形的边，使得相邻边取形式<math>A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1}</math>。这就是说边对可安排成以这样的方式相间出现。
* 标准多边形是凸集。
* 边可以安排成测地线。

上面的构造足够保证多边形的每条边在流形'''H'''/Γ中是一个闭（非平凡）环路。就其本身而言，每条边可以为[[基本群]]<math>\pi_1 (\mathbb{H}/\Gamma)</math>中一个元素。特别地，基本群<math>\pi_1 (\mathbb{H}/\Gamma)</math>有2''n''个生成元素<math>A_1, B_1, A_2, B_2, \cdots A_n B_n</math>，由一个约束定义，
 
:<math>A_1 B_1 A_1^{-1} B_1^{-1}A_2 B_2 A_2^{-1} B_2^{-1}\cdots A_n B_n A_n^{-1} B_n^{-1}=1.\,</math>

所得流形'''H'''/Γ的亏格是''n''。

===例子===
度量基本多边形与标准多边形通常有不同的边数。比如，[[环面]]的标准基本多边形是一个[[基本平行四边形]]（[[:en:fundamental parallelogram|fundamental parallelogram]]）。相比而言，度量基本多边形有六条边，是一个[[六边形]]。只需注意到六边形的边垂直平分平行四边形的边就可以看出来。这就是，取格中一点，然后考虑连接这点与邻点的直线之集合。每个这样的线被另一条垂直线平分，被这样的第二个线集合围住的最小的空间是一个六边形。

事实后，上一个构造一般都可行：取一点''x''，然后对Γ中''g''，考虑''x''与''gx''之间的测地线。平分这些测地线是另一个曲线集合，这些点的[[轨迹]]与''x''和''gx''距离相等。由第二个线集合围住的最小区域是度量基本多边形。

===面积===
标准基本多边形的面积是<math>4\pi(n-1)</math>，这里''n''是黎曼曲面的亏格（等价于4''n''是多边形的边数）。由于标准多边形是'''H'''/Γ的一个代表，黎曼曲面的整个面积等于标准多边形的面积。这个面积公式由[[高斯-博内定理]]得出，在某种意义下[[黎曼-赫尔维茨公式]]（[[:en:Riemann-Hurwitz formula|Riemann-Hurwitz formula]]）是其推广。

==标准多边形的具体形式==
对标准多边形可以给出具体表达式。一个更有用的形式是使用与这个标准多边形关联的群<math>\Gamma</math>。对一个亏格''n''定向曲面，群可由2''n''格生成元<math>a_k</math>给出。这些生成元由下列[[分式线性变换]]作用在[[上半平面]]给出。

对<math>0\le k < 2n</math>：
:<math>a_k=
\left( \begin{matrix} 
\cos k\alpha & -\sin k\alpha \\ \sin k\alpha & \cos k\alpha 
\end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} e^p & 0 \\ 0 & e^{-p} \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix} 
\cos k\alpha & \sin k\alpha \\ -\sin k\alpha & \cos k\alpha 
\end{matrix} \right)
</math>

参数由

:<math>\alpha= \frac{\pi}{4n}\left(2n-1\right)</math>
和
:<math>\beta= \frac{\pi}{4n}</math>
以及
:<math>p=\ln \frac{\cos \beta + \sqrt{\cos 2\beta}}{\sin \beta} </math>
给出。可以验证这些生成元服从约束

:<math>a_0a_1\cdots a_{2n-1} a^{-1}_0a^{-1}_1\cdots a^{-1}_{2n-1}=1,\,</math>

这给出整个[[群呈示]]。

==推广==
在高維，基本多变形的想法体现为[[齐性空间]]。

==另见==
* [[凯莱图]]
* [[欧几里得环]]
* [[沃罗诺伊图]]（[[:en:Voronoi diagram|Voronoi diagram]]）

==参考文献==
* Alan F. Beardon, ''The Geometry of Discrete Groups'' (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
* Hershel M. Farkas and Irwin Kra, ''Riemann Surfaces'' (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
* Jurgen Jost, ''Compact Riemann Surfaces'' (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.

{{多邊形}}

[[Category:共形几何|J]]
[[Category:黎曼曲面|J]]
[[Category:几何拓扑学|J]]
[[Category:多边形]]
[[Category:多邊形類型]]