查看“︁基本单位 (数论)”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=math
|1=zh-hans:范;zh-hant:範
|2=zh-hans:复;zh-hant:複
}}

在[[代数数论]]，'''基本单位'''，是[[数域]]中代数[[整数环]]的生成元（即模单位根），可理解为[[单位群]][[模]]其[[扭子群]]是个无限[[循环群]]。[[狄利克雷单位定理]]表明：[[rank]]=1的有实[[二次域]]，复[[三次域]]，完全[[四元数]][[体 (数学)|域]]。

随时代发展，当对[[rank]] ≥1*基本单位也被有些作者叫'''基本单位系'''，rank=1时的才基本单位，这只是基本单位系的一个系元.<ref>{{harvnb|Alaca|Williams|2004|loc=§13.4}}</ref> 

==实二次域==
实二次域<math>K=\mathbf{Q}(\sqrt{d})</math>（''d''无平方因子），如果Δ表示代数数域K的判别式，则基本单位是：
:<math>\epsilon=\frac{a+b\sqrt{\Delta}}{2}</math>

其中 (''a'',&nbsp;''b'') 是下面[[佩尔方程]]的[[最小正整数解]]<ref>{{harvnb|Neukirch|1999|loc=Exercise I.7.1}}</ref>
:<math>x^2-\Delta y^2=\pm4</math>

上面的[[佩尔方程]]可通过<math>\sqrt{\Delta}</math>的[[连分数展开]]获得。这个[[不定方程]]现在得出一些结论：
*<math>\sqrt{\Delta}</math>连分数展开是奇[[周期]]的。
*有[[概率]]表明Δ如果能整除一个3mod4的[[同余]]的素数，那麽K有[[範數|範]]为-1的单位概率较大。如d=34就为反例，1990年，Peter Stevenhagen 提出个[[概率模型]]，专找反例。特别的，当 Δ < ''X'' ，对如果能整除一个3mod4的同余的素数的''D''(''X'')，其共轭''D''<sup>−</sup>(''X'')有[[範數|範]]为-1的单位概率为<ref>{{harvnb|Stevenhagen|1993|loc=Conjecture 1.4}}</ref>：
:<math>\lim_{X\rightarrow\infty}\frac{D^-(x)}{D(x)}=1-\prod_{j\geq1\text{ odd}}\left(1-2^{-j}\right).</math>。
也就是这种特例下有42%反例，至2012年3月，最近对这个[[猜想]]的结果<ref>{{harvnb|Fouvry|Klüners|2010}}</ref>
为可有33％~59％的反例。

==三次域==
如果“K”是只有一个[[实嵌入]]的[[复三次域]]，且在嵌入中基本单位ε[[赋值]]满足|ε|&nbsp;>&nbsp;1 ，判别式[[赋值]]|Δ|&nbsp;≥&nbsp;33，<ref>{{harvnb|Alaca|Williams|2004|loc=Theorem 13.6.1}}</ref> 则：
:<math>\epsilon^3>\frac{|\Delta|-27}{4}.</math>

例：<math>\mathbf{Q}(\sqrt[3]{2})</math>基本单位的<math>1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2}</math> 的三次方≈&nbsp;56.9, ，[[判别式]]= −108 
则：

:<math>\frac{|\Delta|-27}{4}=20.25.</math>

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
{{refbegin|2}}
*{{Citation| last=Alaca| first=Şaban| last2=Williams| first2=Kenneth S.| title=Introductory algebraic number theory| year=2004| publisher=[[Cambridge University Press]]| isbn=978-0-521-54011-7
}}
* {{cite book | author=Duncan Buell | title=Binary quadratic forms: classical theory and modern computations | url=https://archive.org/details/binaryquadraticf0000buel | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1989 | isbn=0-387-97037-1 | pages=[https://archive.org/details/binaryquadraticf0000buel/page/92 92]–93 }}
*{{citation| last=Fouvry| first=Étienne| last2=Klüners| first2=Jürgen| title=On the negative Pell equation| year=2010| journal=Annals of Mathematics| volume=2| number=3| pages=2035–2104| mr=2726105
}}
*{{citation| last=Stevenhagen| first=Peter| title=The number of real quadratic fields having units of negative norm| year=1993| journal=Experimental Mathematics| volume=2| number=2| pages=121–136| mr=1259426
}}
{{refend}}

[[Category:代數數論]]