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{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:数学对象;zh-tw:數學物件;
}}
在[[集合论]]中，'''基本元素'''（ur-element, 或urelement）是指那些自身不為[[集合 (数学)|集合]]，但可以是某個集合的[[元素 (數學)|元素]]的[[數學物件]]。就是说如果 ''U'' 是基本元素，则
:''X'' &isin; ''U''
這一說法是没有意义的，而
:''U'' &isin; ''X''
是完全合理的。

这不应该與[[空集]]混淆，當我們說
:''X'' &isin;<math>\emptyset</math>
這是逻辑上合理的，只不过是假的。

基本元素有时也叫做“原子”或“个体”。

== 基本元素和公理化 ==

在叫做 [[Zermelo-Fraenkel 集合论]]的标准[[公理化集合论]]中，没有基本元素。但是確實有其他公理化集合論使用基本元素，比如：带有基本元素的 [[Kripke-Platek 集合论]]。在帶有[[类型论|类型]]的集合论系统中，基本元素有时是类型 0 的对象，所以叫做“原子”。在这种理论中，[[外延公理]]需要特殊的形式化和处理。

現已發現，向 [[新基础|NF]] 系统加進基本元素而生成的 NFU系統會產生某些令人驚訝的结论。特别是，NFU 已知是一致的，尽管與 NF 的相对一致性仍是未解的问题。此外，NFU 一致于[[选择公理]]而 NF 則不然。

==引用==
*[[Ronald Jensen]] (1969) "On the Consistency of a Slight(?) Modification of Quine's NF," ''Synthese 19'': 250-63.
*Mendelson, Elliot (1997) ''Introduction to Mathematical Logic, 4th ed''. London: Chapman & Hall.
*[[Patrick Suppes]] (1960) ''Axiomatic Set Theory''. Van Nostrand. Dover reprint, 1972.
*{{MathWorld|title=Urelement|urlname=Urelement}}

[[Category:集合論基本概念|J]]