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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[集合论]]中，[[势 (数学)|势]]的概念可以有相當的發展，而無需借助于定义[[基数 (数学)|基数]]为理论自身内的对象（这实际上是[[弗雷格]]采用的观点；[[弗雷格基数]]基本上是指在[[等勢]]關係下，由在全集中的集合所組成的各個等价类）。勢的概念可以依据函数的[[单射、双射与满射]]概念來闡述；比如透過單射，可以给出在整个全集上通过大小比較的[[預序关系]]

:<math>A \leq_c B \iff (\exists f) (f : A \to B\,</math>是单射<math>)\,</math>。

它不是真的排序，因为[[三分律]]不一定成立：如果 <math>A \leq_c B</math> 和 <math>B \leq_c A</math> 都为真，则通过 [[康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理]] <math>A =_c B \ </math> 为真，就是说 ''A'' 和 ''B'' 是等势的，但作為集合它们可以不是相等的；“<math>A \leq_c B, B\le_c B, A=_c B</math>三者至少一种情况成立”這一陳述等价于[[选择公理]]。

不过多数关于势和它的算术的有趣结果可以只通过 =<sub>c</sub> 来表达。

'''基数指派'''的目标是把每个集合 ''A'' 指派到特定的唯一的一个集合，所指派的集合只取決於 ''A'' 的势。这跟[[康托尔]]最初對基數的設想是一致的：取一个集合并把它的元素抽象为规范“单位”，再把这些单位收集到另一个集合中，使得有关这个集合唯一特殊的事情是它的大小。這類集合在 <math>\leq_c</math> 下會是全序的，而=<sub>c</sub> 會變成真正的等號。不過，如 Y. N. Moschovakis 所说，这只是作為體現数学簡潔性的一个練習，你不会得到更多东西除非你“对下标过敏”。但是在集合论的各种[[模型论|模型]]中，有“真实”基数的各种有价值的应用。

在现代集合论中，我们通常使用[[冯·诺伊曼基数指派]]，它使用序数的理论与[[选择公理]]和[[替代公理]]的全部能力。基数指派需要完全的选择公理，如果我们想要像样的基数算术和对''所有''集合的基數指派。

== 不用选择公理的基数指派 ==

形式上，假定选择公理，一个集合 ''X'' 的势，是使得在 ''X'' 和 α 之间有双射的最小序数 α。这个定义叫做[[冯·诺伊曼基数指派]]。如果不假定选择公理，我们需要採取別的方式。一个集合 ''X'' 的势的最古舊的定义（康托尔隐含地使用著，而在弗雷格和《[[数学原理]]》那裡被明确提出），是等势于 ''X'' 的所有集合的集合：这在 [[ZFC]] 或其他有关的[[公理化集合论]]中不可行，因为这个搜集对于一个集合而言太大了，但這個定義在[[类型论]]、[[新基础]]和有关系统中可行。但是，如果我们限制这个类为，同 ''X'' 等势的那些对象中有最小[[阶 (集合论)|阶]]的集合的搜集，则它就可行（这是 [[Dana Scott]] 發明的一个技巧：它可行是因为任何给定阶的对象的搜集都是一个集合）。

== 引用 ==
*Moschovakis, Yiannis N. ''Notes on Set Theory''. New York: Springer-Verlag, 1994.

[[Category:基数]]