查看“︁域 (数学)”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
|2 = zh-hans:领域; zh-hant:領域;
}}
{{各地中文名
|name = 域
|cn = 域
|tw = 體<ref name="naer">{{cite book|author=張幼賢等|title=學術名詞編譯系列叢書-數學名詞(第四版)|location=台北市|publisher=國家教育研究院|date=2014|pages=p149|isbn=9789860440454|url=http://terms.naer.edu.tw/download/301/|language=zh-tw|access-date=2019-02-09|archive-date=2020-12-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20201206111052/http://terms.naer.edu.tw/download/301/|dead-url=no}}</ref>
}}
在[[抽象代数]]中，'''體'''（{{Lang-de|Körper}}，{{Lang-en|field}}）是一种具有加法跟乘法的集合（[[代数结构]]），且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上，'''體'''正是'''[[数域]]'''以及[[四则运算]]的推廣，所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。

體是[[环 (代数)|环]]的一種。但區別在於域要求它的非零元素可以做除法，且體的乘法有交換律。

最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體，例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等，都很常在數學的領域中被使用或是研究，特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。

在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論，由[[埃瓦里斯特·伽罗瓦|Évariste Galois]]在1830年代提出，致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果，解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外，還解決了五次方程不能有公式解的問題。

==正式定义==
給定[[集合 (数学)|集合]] <math>K</math> ，它具有了以下兩種[[二元运算]]：

* <math>+:K \times K \to K</math> （其中 <math>+(a,\,b)</math> 慣例上簡記為 <math>a + b</math> ）
* <math>\times:K \times K \to K</math> （其中 <math>\times(a,\,b)</math> 慣例上簡記為 <math>a \times b</math> 或 <math>a \cdot b</math>  甚至是 <math>ab</math> ）

滿足：<!--把以下關於群的定義拆開的話，會需要預先承認加法單位元有唯一性，這樣等同於一開始就承認新的函數符號和其背後的新增公理，也就是群條目在基本性質所希望闡明的。為了不重複敘述，不如以群的語言簡便的囊括體的定義動機。-->

# <math>\left(K,\,+\right)</math> 為[[交换群]]，且其單位元為 <math>0_K</math> 。
# <math>\left(K-\{0_K\},\,\times\right)</math> 為交换群。
# [[分配律]]：對所有 <math>a,\,b,\,c \in K</math>，<math>a \times (b + c)
= a \times b + a \times c</math> 且 <math>(b + c)\times a
= b \times a + c \times a</math>。

那稱「 <math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 為體」，當二元运算的符號不重要時，亦可將 <math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 簡記為 <math>K</math> 。

=== 慣用符號與稱呼 ===
(1)體的代號：

有時會基於[[德语]] {{Lang|de|Körper}} ，以字母 <math>K</math> 代稱體，但也會基於[[英语]] {{Lang|en|Field}} 以 <math>F</math> 代稱。

(2)加法與乘法：

習慣上，<math>\times</math> 被稱為'''乘法'''， <math>\left(K-\{0_K\},\,\times\right)</math> 的單位元會記為 <math>1_K</math>  ，並稱為 <math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 的'''乘法單位元'''。

類似地， <math>+</math> 被稱為'''加法'''， <math>0_K</math> 被稱為體的'''加法單位元'''。所以在省略括弧後，仍依照'''先乘後加'''的方式閱讀。

(3)減法與除法：

對於任意 <math>a,\,b \in K</math> ，會依據[[群#除法與減法|群的習慣]]，將 <math>a</math> 的加法逆元素記做 <math>-a</math> ，並將 <math>b+(-a)</math> 簡記為 <math>b-a</math> ，並可暱稱為'''減法'''。

類似地，若 <math>a \neq 0_K</math> ， <math>a</math> 的乘法逆元素記做 <math>\frac{1}{a}</math> ，並將 <math>b \times \frac{1}{a}</math> 簡記為 <math>\frac{b}{a}</math> ，並可暱稱為'''除法'''。

== 基本性質 ==
{{Math theorem
|note = 1
|math_statement= 
<math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 為體，那對任意 <math>a \in K</math> 有

: <math>0_k \times a = a \times 0_K = 0_K</math>
}}
{{Math proof
|proof=
根據分配律和加法單位元的性質會有

: <math>a \times 0_k = a \times (0_K + 0_k) = a \times 0_K + a \times 0_K</math>
: <math>0_k \times  a= (0_K + 0_k) \times a = 0_k \times  a + 0_k \times a</math>

這樣的話，根據加法結合律還有加法單位元的性質有

<math>\begin{align}
0_K 
& = -(a \times 0_K) + a \times 0_K\\
& = -(a \times 0_K) + (a \times 0_K + a \times 0_K)\\
& = [-(a \times 0_K) + a \times 0_K] + a \times 0_K\\
& = 0_K + a \times 0_K\\
& = a \times 0_K
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
0_K 
& = -(0_k \times  a) + 0_k \times  a\\
& = -(0_k \times  a) + (0_k \times  a + 0_k \times  a)\\
& = [-(0_k \times  a) +0_k \times  a] + 0_k \times  a\\
& = 0_K + 0_k \times  a\\
& = 0_k \times  a
\end{align}</math>

故得証。<math>\Box</math>
}}

以上的定理也證明了，只要<math>\left(K,\,+\right)</math> 為[[交换群]]且有分配律，就足以決定 <math>0_K</math> 相關乘法的值。所以正式定義中把 <math>0_K</math> 排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說

{{Math theorem
|note = '''乘法交換律'''
|math_statement= 
<math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 為體，那對任意 <math>a,\,b \in K</math> 有

: <math>a \times b = b \times a</math>
|name=系理}}{{Math theorem
|note = '''乘法結合律'''
|math_statement= 
<math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 為體，那對任意 <math>a,\,b,\,c \in K</math> 有

: <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math>
|name=系理}}{{Math theorem
|note = 2
|math_statement= 
<math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 為體，那對任意 <math>a,\,b \in K</math> 有

: <math>-(a \times b)=(-a) \times b = a \times (-b)</math>
}}
{{Math proof
|proof=
根據乘法交換律跟分配律有

<math>\begin{align}
(a \times b)+[(-a) \times b]
& = (b \times a)+[b \times (-a)]\\
& = b \times (a - a)\\
& = b \times 0_K
\end{align}</math>

這樣根據定理(1)和加法交換律就有

: <math>
(a \times b) + [(-a) \times b]
= [(-a) \times b] + (a \times b)
= 0_K
</math>

所以

: <math>
-(a \times b) = [(-a) \times b]
</math>

再考慮到乘法的交換律有

: <math>
-(a \times b) = -(b \times a) = (-b)  \times a = a \times (-b)
</math>

故得証。<math>\Box</math>
}}
{{Math theorem
|note = 3
|math_statement= 
<math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 為體，若 <math>a,\,b \in K</math> 且 <math>a \neq 0_K</math> 和 <math>b \neq 0_K</math> ，則

:<math>\frac{1}{a\times b} = \frac{1}{a} \times \frac{1}{b}</math>
}}
{{Math proof
|proof=
根據乘法的結合律和交換律，還有乘法單位元的性質會有

<math>\begin{align}
\left(\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}\right)\times (a \times b)
& = \left(\frac{1}{b}\times\frac{1}{a}\right)\times (a \times b)\\
& = \frac{1}{b}\times\left[\frac{1}{a}\times (a \times b)\right]\\
& = \frac{1}{b}\times\left[\left(\frac{1}{a}\times a \right)\times b\right]\\
& = \frac{1}{b}\times(1_K \times b)\\
& = \frac{1}{b}\times b\\
& = 1_K\\
& = (a \times b) \times (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b})
\end{align}</math>

故得証。<math>\Box</math>
}}
{{Math theorem
|note = 4
|math_statement= 
<math>\left(K,\,+,\,\times\right)</math> 為體，那對任意 <math>a,\,b \in K</math> ，若 <math>a \times b = 0_K</math> ， 則 <math>a = 0_K</math> 或 <math>b = 0_K</math>。
}}
{{Math proof
|proof=
如果 <math>K-\{0_K\} = \varnothing</math> ，那對任意 <math>a \in K</math> 都有 <math>a = 0_K</math> ，所以以下只考慮 <math>K-\{0_K\} \neq \varnothing</math> 狀況。

假設存在 <math>a,\,b \in K</math> 滿足 <math>a \neq 0_K</math> 和 <math>b \neq 0_K</math> ，但同時 <math>a \times b = 0_K</math>  ，這樣根據定理(1)和(3)有

<math>\begin{align}
1_K &= (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b})\times(a\times b)\\
& = (\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}) \times 0_K\\
& = 0_K
\end{align}</math>

這顯然是矛盾的，所以根據[[一阶逻辑#反證法|反證法]]和[[一阶逻辑#德摩根定律|德摩根定理]]，對所有的 <math>a,\,b \in K</math> ，只能「 <math>a,\,b </math> 其中一者為 <math>0_K</math> 」或「  <math>a \times b \neq 0_K</math> 」，也就等價於：

:「對所有 <math>a,\,b \in K</math> ，若 <math>a \times b = 0_K</math> 則 <math>a,\,b </math> 其中一者為 <math>0_K</math> 。」

故得証。<math>\Box</math>
}}
* 域''F''中的所有非零元素的集合（一般记作''F''<sup>×</sup>）是一个關於乘法的[[阿贝尔群]]。''F''<sup>×</sup>的每个有限子群都是[[循环群]]。
* 若存在正整数''n''使得0 = 1 + 1 + ... + 1（''n''个1），那么这样的''n''中最小的一个称为这个域的'''特征'''，特征要么是一个素数''p''，要么是0（表示这样的''n''不存在）。此时<math>F</math>中最小的子域分别是<math>\mathbb{Q}</math>或有限域<math>\mathbb{F}_p</math>，称之为<math>F</math>的'''素域'''。
* 一个交换环是域当且仅当它的[[理想子环|理想]]只有自身和零理想。
* 在[[选择公理]]成立的假设下，对每个域''F''都存在着唯一的一个域''G''（在同构意义上），''G''包含''F''，''G''是''F''的[[代数扩张]]，并且''G''[[代数封闭域|代数封闭]]。''G''称作由''F''确定的[[代数闭包]]。在很多情况下上述的同构并不是唯一的，因此又说''G''是''F''的一个代数闭包。
==例子==
* 許多常见的数域都是域。比如说，全体[[複數 (數學)|複數]]的集合<math>\mathbb{C} </math>與其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合<math>\mathbb{Q}</math> 與其加法和乘法也是一个域，它是<math>\mathbb{C} </math>的'''子域'''，并且不包含更小的子域了。
* [[代数数域]]：代数数域是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的[[有限扩张|有限扩域]]，也就是说代数数域是<math>\mathbb{Q}</math>上的有限维[[向量空间]]。代数数域都同构于<math>\mathbb{C} </math>的子域，并且这个同构保持<math>\mathbb{Q}</math>不变，即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是[[代数数论]]研究的对象。
* [[代数数]]构成的域：所有的[[代数数]]的集合对于加法和乘法构成一个域，记作<math>\overline{\mathbb{Q}}</math>。<math>\overline{\mathbb{Q}}</math>是有理数域<math>\mathbb{Q}</math>的代数闭包（见下）。<math>\overline{\mathbb{Q}}</math>是特征为零的[[代数封闭域|代数封闭]]的域的一个例子。
* 全体[[实数]]的集合<math>\mathbb{R} </math>对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域<math>\mathbb{C} </math>的子域，也是一个[[有序域]]。后者使得[[实数]]域上能够建立起[[微积分]]理论。
* 所有的实[[代数数]]的集合也构成一个域，它是<math>\mathbb{R} </math>的一个子域
* 任意一个[[有限域]]的元素个数是一个素数q的乘方，一般记作'''F'''<sub>q</sub>，就是所谓的[[伽罗瓦域]]。任意一个元素个数是素数q的域都同构于'''Z'''/''p'''''Z''' = {0, 1, ..., ''p'' − 1}。令''p'' = 2,就得到最小的域：'''F'''<sub>2</sub>。'''F'''<sub>2</sub>只含有两个元素0和1，运算法则如下：
{|
|-
|
:&nbsp;
|
{{乘法表
| table class = class="wikitable" style="text-align:center;"
| first number list = 0,1
| expr = {{{left}}} xor {{{right}}}
| calculate title = <math>\oplus</math>
| number css = css
}}
|
{{乘法表
| table class = class="wikitable" style="text-align:center;"
| first number list = 0,1
| expr = {{{left}}} and {{{right}}}
| calculate title = <math>\land</math>
| number css = css
}}
|}
* 设''E''和''F''是两个域，''E''是''F''的子域，则''F''是''E''的 '''扩域'''。设''x''是''F''中的一个元素，则存在着一个最小的同时包含''E''和''x''的''F''的子域，记作''E (x)''，''E (x)''称作''E''在''F''中关于  ''x''的'''[[单扩张]]'''。比如说，复数域<math>\mathbb{C} </math>就是实数域<math>\mathbb{R} </math>在<math>\mathbb{C} </math>中关于[[虚数单位]]''i''的单扩张
* 每一个有乘法么元的环''R''都对应着一个包含它的域，称为它的[[分式域]]，记作''K''(''R'')。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类，再将环“嵌入”其中（详见[[分式域]]）。可以证明，''K''(''R'')是包含''R''的“最小”的域。
* 设''F''是一个域，定义''F (X)''是所有以''F''中元素为系数的[[分式]]的集合，则''F (X)''是''F''的一个扩域。''F (X)''是''F''上的一个无穷维的[[向量空间]]，这是域的[[超越扩张]]的一个例子。
* 设''F''是一个域，''p''(''X'')是[[多项式环]]''F''[''X'']上的一个[[不可约多项式]]，则[[剩余类环|商环]]''F''[''X'']/<''p''(''X'')>是一个域。其中的<''p''(''X'')>表示由''p''(''X'')生成的[[理想子环|理想]]。举例来说，'''R'''[''X'']/<''X''<sup>2</sup> + 1>是一个域（同构于复数域<math>\mathbb{C} </math>）。可以证明，''F''的所有单扩张都同构于此类形式的域。
* 若''V''是域''F''上的一个代數簇，则所有''V → F ''的有理[[函数]]构成一个域，称为''V''的'''函数域'''。
* 若''S''是一个[[黎曼曲面]]，则全体''S → C ''的[[亚纯函数]]构成一个域。
* 由于[[序数]]的[[类 (数学)|类]]不是集合，因此在其上定义的[[尼姆数]]不能构成真正的域。但它满足域的所有条件，且其任意封闭子集（如小于<math>2^{2^n}</math>的所有[[自然数]]构成的子集）都是域。

== 有限體 ==
有限體是一個體有著有限多個元素，其元素個數也跟體的階數相同，按照體的定義，可以知道<math>\mathbb{F}_2</math>為最小的有限體，因為根據定義，一個體至少包含兩個元素<math>1\neq 0</math>。

通常來說，最簡單的質數階體，就是<math>\mathbb{Z}/ p \mathbb{Z}=\{0,1,...p-1\}</math>，此處<math>p</math>為質數，在這個體上的加法與乘法等同於在整數<math>\mathbb{\Z}</math>上的運算，然後除以<math>p</math>，取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體，通常我們將這個體記作<math>\mathbb{F}_{p}</math>。要注意的是<math>\mathbb{Z}/ n \mathbb{Z}=\{0,1,...n-1\}</math>，當n為合成數時並不是一個有限體，例如在 <math>\mathbb{Z}/ 4 \mathbb{Z}</math> 中 <math>2\times2=0</math> ，因此 <math>(\{1,2,3\},\times)</math> 不能形成群。

如果我們將向量空間<math>\mathit{V}=\mathbb{F}_{p}/m^n</math>，則我們將V稱作有限體向量空間，其中<math>n=\dim\mathit{V}</math>，可知這個向量空間中，有<math>p^n</math>個元素。

如果我們將有限體放入矩陣，也就是<math>GL_{n}(\mathbb{F}_p)</math>，則此矩陣的元素有<math>(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1})</math>

== 歷史 ==
歷史上，三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程的問題，第二個是代數數論，第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年，由[[约瑟夫·拉格朗日|拉格朗日]]所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程的根{{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>}}的置換，在以下的表達

{{math|(''x''<sub>1</sub> + ω''x''<sub>2</sub> + ω<sup>2</sup>''x''<sub>3</sub>)<sup>3</sup>}}

(其中{{math|ω}}是三次方程的單位根)只產生兩個值。在這方向上，拉格朗日概念上的解釋了由 [[希皮奥内·德尔·费罗|希皮奧內·德爾·費羅]] 和 [[弗朗索瓦·韦达|弗朗索瓦·韋達]] 的經典解法，其解法藉由簡化三次方程關於未知 {{math|''x''}} 到一個 {{math|''x''<sup>3</sup>}}的二次方程。四次方程上也和三次方程一樣有相似的觀察，拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。

== 建構體 ==
==伽羅瓦理論==
請參見[[伽羅瓦理論]]

==體的不變量==
==應用==
== 參見 ==
* [[特徵 (代数)]]
*[[环 (代数)|環論]]
* [[域論]]
* [[有序域]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:域論|*]]
[[Category:环论|U]]
[[Category:代数结构]]