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[[微分几何]]中，'''埃雷斯曼联络'''（{{lang|en|Ehresmann connection}}）是应用于任意[[纤维丛]]的[[联络]]概念的一个版本。

特别的是，它可以是[[非线性]]的，因为一般的纤维丛上没有合适的线性的概念。 

它适用于[[主丛]]这一类特殊的纤维丛，通过[[联络形式]]表述，在这种情况联络至少是在一个[[李群]]的作用下[[等变]]。

埃雷斯曼联络以法国数学家[[夏尔·埃雷斯曼]]命名。

==简介==
微分几何中经典的[[协变导数]]是一个[[线性微分算子]]，它以[[协变]]的方式取[[向量丛]]中截面的[[方向导数]]，也能用來闡述在
在特定向量方向上叢中截面為[[平行移动|平行]]的概念：截面''s''沿着向量''V''平行，如果∇<sub>V</sub>''s'' = 0。所以一个协变导数提供了两个觀念：微分算子以及各个方向上的平行。'''埃雷斯曼联络'''<ref>Ehresmann, C. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable", ''Colloque de Toplogie, Bruxelles (1950) 29-55.</ref>完全放弃了微分算子，并用截面在各个方向平行的含义来公理化一个联络。精确一点讲，埃雷斯曼联络將纤维丛中的切丛的某些子空间指定为「水平空间」。如果 ''ds''(''V'' )处于水平空间中，則截面 ''s'' 是在 ''V'' 方向上是水平的（也即平行的）。在这里，我们把 ''s'' 視为从底空间 ''M'' 映射到向量丛 ''E'' 的函数 ''s'' : ''M'' → ''E'' ，且 ''ds'' : ''TM'' → ''s*TE'' 是向量的[[前推]]。水平空间组成 ''TE'' 的一个子向量丛。

如此一來直接的好处是它可以用于比向量丛一般得多的场合。特别是，它对于一般的[[纤维丛]]都是有定义的。而且，很多协变导数的特色得到了保留：平行移动，[[曲率]]和[[和樂 (曲率)|和樂]]。

然而此定義除了线性之外還失去了''协变性''。在经典协变导数中，协变性乃是導數的''后验''特性。在构造過程中，要先指定「非协变」[[克氏记号]]的变换法则，才能給出符合协变的''导数''。對埃雷斯曼联络而言，可藉由引入作用在纤维丛裡纤维上的[[李群]]，来强加一个推广的协变原则。恰当的条件就是要求水平空间在某种意义下对应于群作用[[等变]]。

埃雷斯曼联络的点睛之笔是它可以表達为一个[[微分形式]]，和[[联络形式]]的情況類似。若一个群作用在纤维上，并且联络等变，则该形式也是等变的。而且，该联络形式也允許用[[曲率形式]]來定義曲率。

==纤维丛上的埃雷斯曼联络==
令π : ''E'' → ''M''为[[纤维丛]]<ref>这在更一般的情况也成立，这种情况下π:''E''→''M''是一个[[满射|满]] [[浸入]]: 也即，''E''是一个''M''上的[[纤维化流形]]。</ref>。''E''上的'''埃雷斯曼联络'''由如下数据组成：
# 对于每一点''x'' ∈ ''E''，给定''E''在''x''点的切空间[[向量空间|向量子空间]] ''H''<sub>x</sub> ⊂ ''T''<sub>x</sub>''E''。''H''<sub>x</sub>称为''x''点的''水平空间''。
# 随着''x''的变化，''H''<sub>x</sub>必须定义出一个''E''的切丛的[[光滑函数|光滑]]子丛。（特别是，''H''必须有常数维度。）
# 令''V'' = ker(''d''π : ''TE'' → ''TM'')为由所有沿着''E''的纤维方向的切向量组成的''铅直丛''。则''H''<sub>x</sub> ∩ ''V''<sub>x</sub> = {0} 对于''x'' ∈ ''E''成立。
# 任何''E''的切向量必须可以分解为水平和铅直分量:  ''TE'' = ''H'' + ''V''。（特别是，根据上面第3条，这是一个[[直和]]分解。）

用更加看似深奥的术语来讲，满足属性1－4的这样的一个对水平空间的设定，精确地对应于给定一个[[射丛]] ''JE'' → ''E''的光滑截面。

等价的有，令Φ为到铅直丛''V''的投影。这可以由上述''TE''到水平和铅直分量的''直和''分解得到。则Φ满足：
# Φ<sup>2</sup> = Φ
# Φ : ''TE'' → ''V''是一个丛的满射。
反过来，若Φ是满足1和2的向量丛映射，则H = ''ker'' Φ定义了上述的一个埃雷斯曼联络的结构。

===曲率===
令Φ为一埃雷斯曼联络。则Φ的曲率为
:<math>R = \frac{1}{2}[\Phi,\Phi]</math>
其中[-,-]表示Φ ∈ Ω<sup>1</sup>(''E'',''TE'')和它自己的[[Frölicher-Nijenhuis括号]]。这样''R'' ∈ Ω<sup>2</sup>(''E'',''TE'')就是一个''E''上取值在''TE''中的2－形式，定义为
:<math>R(X,Y) = \Phi\left([(Id - \Phi)X,(Id - \Phi)Y]\right)</math>,
或者说
:<math>R(X,Y) = [X_H,Y_H]_V</math>,
其中''X'' = ''X''<sub>H</sub> + ''X''<sub>V</sub>代表到''H''和''V''分量的分解。从上式可以看出，曲率为0当且仅当水平子丛是[[弗罗贝尼乌斯定理|弗罗贝尼乌斯可积的]]。这样，曲率是否为0就是水平子丛能否构成纤维丛''E'' → ''M''的横截面的[[可积性条件]]。

一个埃雷斯曼的曲率也满足[[比安基恒等式]]（Bianchi identity）的一个扩展版本：
:<math>[\Phi, R] = 0</math>
其中[-,-]仍然是Φ ∈ Ω<sup>1</sup>(''E'',''TE'')和''R'' ∈ Ω<sup>2</sup>(''E'',''TE'')的Frölicher-Nijenhuis括号。

===水平提升===
埃雷斯曼联络也给出了将曲线从基流形 ''M'' 提升到纤维丛 ''E'' 的总空间并且使得曲线得切向量为水平向量的方式。这些'''水平提升'''是其它版本的联络表述中的[[平行移动]]的直接对应。

精确来讲，设 γ(''t'') 为 ''M'' 中穿过点 ''P'' = γ(0) 的光滑曲线。令 ''e'' ∈ ''E''<sub>P</sub> 为 ''P'' 上的纤维中的一点。γ 穿过 ''e'' 的一个'''提升'''就是一条曲线 <math>\tilde{\gamma}(t)</math>，它位于 ''E'' 中，并满足
:<math>\tilde{\gamma}(0)=e</math>，与 <math>\pi(\tilde{\gamma}(t)) = \gamma(t).</math>
提升是'''水平的'''，当曲线的每个切向量位于 ''TE'' 的水平子丛中：
:<math>\tilde{\gamma}'(t) \in H_{\gamma(t)}.</math>

对π和Φ利用[[秩-零化度定理]]可以证明每个向量''v'' ∈ T<sub>P</sub>''M''有唯一的水平提升<math>\tilde{v}\in T_eE</math>。特别是，γ的切向量场在[[拉回丛]] γ<sup>-1</sup>E的总空间上产生一个水平向量场。利用[[皮卡定理]]，这个向量场是[[向量场#流线|可积的]]。这样，对于每个曲线γ和γ(0)的纤维上的一点''e''，对于足够小的时间''t''总是''存在唯一的穿过e''的γ的水平提升''。

===完备性===
埃雷斯曼联络允许曲线有[[局部性质|局部]]水平提升。对于一个'''完备'''埃雷斯曼联络，曲线可以在整个定义域上水平提升。

===和乐群===
联络的平坦性局部对应于水平空间的弗罗贝尼乌斯可积性。在另一个极端，非零曲率表示了联络的[[和乐群]]的存在。<ref>埃雷斯曼联络的和乐群有时称为'''埃雷斯曼－瑞布和乐群（Ehresmann-Reeb holonomy）'''或者'''叶和乐群'''，参看瑞布首次使用埃雷斯曼联络研究[[叶状结构]]的文章：Reeb, G. ''Sur Certaines Proprietes Topologiques des Varietes Feuilletees'', Herman, Paris, 1952.</ref>

==主丛==

对于[[主丛|主''G''-丛]] <math>E\to B </math>，每个<math>x\in E</math>，令<math>T_x(E)</math>代表在''x''的切空间，用 
<math>V_x</math>代表和纤维相切的'''铅直子空间'''。则联络是对<math>T_x(E)</math>的'''水平子空间''' <math>H_x</math>的指定，并要满足

#<math>T_x(E)</math>是<math>V_x</math>和<math>H_x</math>的直和，
#<math>H_x</math>的分布在''G''在''E''上的作用下不变，也即<math>H_{ax}=D_x(R_a)H_{x}</math>对于任何<math>x\in E</math>
和<math>a\in G</math>成立，这里<math>D_x(R_a)</math>代表''a''在''x''的[[群作用]]的微分。
#分布<math>H_x</math>光滑地依赖于''x''。

使用[[射丛]] <math>JE \rightarrow E</math>可以更加优美地表达这个定义。指定水平空间无非就是指定该射丛的一个光滑截面。

''G''的单参数子群铅直作用于''E''上。该作用的微分允许我们可以讲子空间<math>V_x</math>和''G''群的李代数''g''等同起来，譬如通过映射<math>\iota:V_x\to g</math>。
然后，联络形式就是<math>E</math>上的在''g''中取值的微分形式<math>\omega</math>，其定义为<math>\omega(X)=\iota\circ v(X)</math> 其中<math>v</math>代表在<math>x \in E</math>的从<math>X \in T_x</math>到<math>V_x</math>的投影，且其核空间为<math>H_x</math>。

联络形式满足如下两个属性：
* 联络在''G''作用下[[等变]]：<math>R_h^*\omega=\hbox{Ad}(h^{-1})\omega</math> 对于所有''h''∈''G''成立。
* 联络将铅直向量场映射为相应的李代数的元素：<math>\omega(X)=\iota(X)</math>对于所有''X''∈''V''成立。
反过来，可以证明这样一个''g''-值1－形式在一个主丛上产生一个水平分布，满足前面所说的属性。

给定一个局部平凡化，可以将<math>\omega</math>（在该平凡化中）简化为水平向量场。它通过[[拉回]]在''B''上定义了一个形式<math>\omega'</math>。该形式<math>\omega'</math>完全确定了<math>\omega</math>，但是它依赖于平凡化的选择。（这个形式经常也称为'''联络形式'''并也记为<math>\omega</math>。）

==备注==
<references/>

==进阶阅读==
* Bott, R. (1970) "Topological obstruction to integrability", ''Proc. Symp. Pure Math.'', '''16''' Amer. Math. Soc., Providence, RI.

==参见条目==
* [[嘉当联络]]
* [[仿射联络]]
* [[曲率形式]]

[[Category:联络|A]]