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在[[數學分析]]的領域中，'''埃爾米特函數'''是當一個函數的[[共軛複數]]與將原函數的自變數變號後的值相等的[[复数_(数学)|复变]]函數。对于所有在 <math>f</math> 定义域内的所有 <math>x</math> 满足:

:<math>f(-x) = \overline{f(x)}</math>

（其中上横线表示复共轭）

这个定义也可以扩展到两个或多个变量的函数，例如，对于两个变量的函数 <math>f</math>，当 <math>f</math> 定义域内的所有数对 <math>(x_1, x_2)</math> 满足

:<math>f(-x_1, -x_2) = \overline{f(x_1, x_2)}</math>

时，它为埃尔米特函数。

根据这个定义,可得出一个很显然的推论:当且仅当

* <math>f</math> 的實部為[[偶函數]]，并且
* <math>f</math> 的虛部為[[奇函數]]

时，<math>f</math> 是埃尔米特函数。

==动机==

埃尔米特函数经常出现在数学、物理和信号处理中。根据傅里叶变换的基本性质，可以得出以下两条叙述：

* 實函數的傅立葉變換為埃爾米特函數
* 埃爾米特函數的[[傅立葉變換]]為[[實函數]]

由于实信号的傅里叶变换可以保证是埃尔米特函数，因而可以将埃尔米特奇/偶对称性用于压缩。这使得经过[[离散傅里叶变换]]的信号（为一般复数）可以存储在与原实数信号相同的空间中。

* 若 ''f'' 为埃尔米特函数，则 <math>f \star g = f*g</math>.

其中 <math> \star </math> 是[[互相关]]，而 <math> * </math> 是[[卷积]]。

* 若 ''f'' 与 ''g'' 都是埃尔米特函数，则 <math>f \star g = g \star f</math>。

==參見==
*[[奇函數與偶函數]]

[[Category:数学分析]]

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