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[[File:Hermite's interpolation.png|thumb|sin(x)+cos(x)的埃尔米特插值]]
不少实际的[[插值]]问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是'''埃尔米特插值多项式'''。

==概述==

'''埃尔米特插值'''是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求[[插值多项式]]的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为'''埃尔米特(Hermite)插值'''。 Hermite插值在不同的节点，提出的插值条件个数可以不同，若在某节点<math>x_i</math>，要求插值函数多项式的函数值，一阶导数值，直至<math>m_i-1</math>阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称<math>x_i</math>为<math>m_i</math>重插值点节,因此，Hermite插值应给出两组数，一组为插值点<math>\{x_i\}^n_{i=0}</math>节点，另一组为相应的重数标号<math>\{m_i\}^n_{i=0}</math>。
<br />
若<math>\sum_{i=0}^n m_i = N+1 </math>，这就说明了给出的插值条件有<math>N+1</math>个，为了保证插值多项式的存在唯一性，这时的Hermite插值多项式应在<math>P_{N+1}</math>上求得，于是可作如下定义。

==定义==

<math>f</math>为 <math>[a, b]</math> 上充分光滑函数，对给定的插值定节<math>\{x_i\}^n_{i=0}</math>，及相应的重数标号<math>\{m_i\}^n_{i=0}</math>，<math>\sum_{i=0}^n m_i = N+1 </math>时，若有<math>H(x)  \in P_{n}</math>满足
::::::::<math>H^l(x_i) = f(x_i) \mbox{ , } l=0,1,\ldots,m_{i-1};i=0,1,\ldots,n.</math>
<br />
则称<math>H(x)</math> 为<math>f(x)</math>关于节点<math>\{x_i\}^n_{i=0}</math>及重数标号<math>\{m_i\}^n_{i=0}</math>的Hermite插值多项式。

==二重Hermite插值多项式==

常用的Hermite插值为m<sub>i</sub>=2  的情况，即给定的插值节点{x<sub>i</sub>}<sup>n</sup><sub>i=0</sub> 均为二重节点，更具体些，<math>f(x) \in C^2([a,b])</math>，及插值节点{x<sub>i</sub>}<sup>n</sup><sub>i=0</sub>，若有<math>H_{2n+1}(x)  \in P_{2n+1}</math>
满足
::::::::<math>H_{2n+1}(x_i)=f(x_i)</math>

<math>H^'_{2n+1}(x_i) = f^'(x_i) \mbox{ , } i=0,1,\ldots,n</math>，就称''H''<sub>''2n'' + 1</sub>(x)为''f''(''x'')  关于节点{x<sub>i</sub>}<sup>n</sup><sub>i=0</sub> 的二重Hermite插值多项式。

==唯一性定理== 

''f''(''x'')关于节点{x<sub>i</sub>}<sup>n</sup><sub>i=0</sub>的[[二重Hermite插值多项式]]存在且唯一。

==误差定理==

若<math>f \in C^{2n+2}([a,b])</math>，则为''f''(''x'')关于<math>[a, b]</math>上节点{x<sub>i</sub>}<sup>n</sup><sub>i=0</sub>的[[二重Hermite插值多项式]]误差为
::::<math>R_{2n+1}(x) =f(x)- H_{2n+1}(x)= \frac{f^{(2n+2)}(\xi)}{(2n+2)!} \ w^2_n(x) </math>
这里
:min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}
==参考文献==

*韩丹夫，吴庆标.数值计算方法.浙江：浙江大学出版社，2006.6.
* Michelle Schatzman (2002). ''Numerical Analysis: A Mathematical Introduction,'' Chapter 4. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.
* Endre S&uuml;li and David Mayers (2003). ''An Introduction to Numerical Analysis,'' Chapter 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.

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