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[[Image:Erdos-Mordell.PNG|thumb|right|240px|如图，埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个[[頂點 (幾何)|顶点]]的距离之和（<font color="009900">绿色</font>线段）大于或等于到三边距离之和（<font color="0000FF">蓝色</font>线段）的两倍]]
在[[几何学]]中，'''埃尔德什-莫德尔不等式'''是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了：对于任何[[三角形]]ABC和其内部的一点O，点O到三角形三条边的[[距离]]之和总是小于或等于点O到三角形的三个[[頂點 (幾何)|顶点]]的距离之和的一半。

埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的[[欧拉定理 (几何学)|欧拉定理]]的一个推广。欧拉定理声称三角形[[外接圆]]的[[半径]]总是大于或等于[[内切圆]]半径的两倍。

==历史==
该不等式最早由[[保罗·埃尔德什|埃尔德什]]在1935年在《美国数学月刊》上提出，作为第3740号问题。两年之后，由[[路易斯·莫德尔]]和D.F.巴罗证明。1957年，[[卡扎里诺夫]]提出了一个更简捷的证明<ref>{{cite book|title = 几何不等式|author=N.D.卡扎里诺夫，刘西垣 译|date=1986年|publisher=北京大学出版社}}</ref>。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫（Bankoff）给出了运用正交投影和相似三角形的证明，1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明，1993年和2001年发现了根据[[托勒密定理]]的证明。

==证明==
如右图，O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的[[垂直|垂线]]分别交三条边于D、E、F。设线段<math>OA</math>、<math>OB</math>、<math>OC</math>的长度分别是<math>x</math>、<math>y</math>、<math>z</math>，线段<math>OD</math>、<math>OE</math>、<math>OF</math>的长度分别是<math>p</math>、<math>q</math>、<math>r</math>，那么埃尔德什-莫德尔不等式为：
<center><math>x+y+z \ge 2(p+q+r)</math></center>

[[Image:Erdos Mordell Proof.PNG|thumb|left|260px]]
一个初等的证明方式是使用[[三角函数]]以及[[算术-几何平均值不等式|均值不等式]]。

首先，由于<math>OF</math>垂直于<math>AF</math>，<math>OE</math>垂直于<math>AE</math>，A、F、O、E[[圆内接四边形|四点共圆]]且<math>OA</math>为直径，因此[[线段]]<math>\displaystyle EF = OA \sin A = x \sin A</math>（角A为[[頂點 (幾何)|顶点]]A对应的内角）。

过点F、E作关于<math>BC</math>的[[垂线]]交<math>BC</math>于X、Y。过O作<math>BC</math>的[[平行]]线分别交<math>FX</math>、<math>EY</math>于<math>U</math>、<math>V</math>。由于<math>OF</math>垂直于<math>AF</math>，<math>OE</math>垂直于<math>AE</math>，<math>\angle UFO = \angle B</math>，<math>\angle VEO = \angle C</math>。于是：
:<math>UV = UO + OV = OF \sin \angle UFO + OE \sin \angle VEO = r\sin B + q\sin C</math>

另一方面，注意到在直角梯形中<math>FUVE</math>中，斜腰<math>EF</math>的长度大于等于直角腰<math>UV</math>。因此：
:<math> x \sin A = EF \ge UV = r\sin B + q\sin C</math>
:<math> x \ge r\frac{\sin B}{\sin A} + q\frac{\sin C}{\sin A}</math>

类似地，还有：
:<math> y \ge r\frac{\sin A}{\sin B} + p\frac{\sin C}{\sin B}</math>，<math> z \ge p\frac{\sin B}{\sin C} + q\frac{\sin A}{\sin C}</math>

三式相加，得到：
:<math> x+y+z \ge r\left(\frac{\sin B}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin B} \right) + q\left( \frac{\sin C}{\sin A}+ \frac{\sin A}{\sin C} \right) + p\left( \frac{\sin C}{\sin B} + \frac{\sin B}{\sin C} \right)</math>

根据算幾不等式，<math> \left(\frac{\sin B}{\sin A} + \frac{\sin A}{\sin B} \right) \ge 2</math>，等等，于是最终得到：
:<math> x+y+z \ge 2(p+q+r)</math>
这就是埃尔德什-莫德尔不等式。


从证明中可以看到，等号取得的充要条件是<math> \sin A = \sin B = \sin C</math>以及<math>\overline{OA}\perp\overline{EF}, \overline{OB}\perp\overline{FD}, \overline{OC}\perp\overline{DE}</math>，也就是说不等式中的等号成立当且仅当三角形是[[等边三角形]]以及<math>P</math>為三角形中心。

==参考来源==
<references/> 
*{{en}}{{cite web |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711.pdf |author=Claudi Alsina，Roger B. Nelsen |title=A Visual Proof of the Erd˝os-Mordell |publisher=InequalityForum Geometricorum，Volume 7 (2007) 99–102 |accessdate=2009-10-28 |archive-date=2020-06-05 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200605090134/http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200711.pdf |dead-url=no }}(埃尔德什-莫德尔不等式的历史和一个可视化证明)
*{{en}}{{cite web|url=http://www.gtsintsifas.com/uploads/erdsum.pdf |author=George Tsintsifas, Thessaloniki, Greece |title=The Erdos-Mordell inequality }}埃尔德什-莫德尔不等式的历史和若干个证明。
*{{cite book|title= ''Geometric inequalities''| author=O. Bottema (and others)|publisher=Groningen, Wolters-Noordhoff |date=1969}}

[[Category:几何不等式]]
[[Category:三角形几何]]