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{{noteTA
|1=zh-hans:埃尔德什; zh-hant:艾狄胥;
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{{Distinguish2|{{link-en|埃尔德什-图兰堆垒基猜想|Erdős–Turán conjecture on additive bases}}，也不是{{link-en|埃尔德什-图兰不等式|Erdős–Turán inequality}}}}
'''埃尔德什等差数列猜想'''（{{lang-en|Erdős conjecture on arithmetic progressions}}），又称'''埃尔德什-图兰猜想'''（{{lang-en|Erdős-Turán conjecture}}），是由兩位[[匈牙利]][[数学家]][[埃尔德什·帕尔]]（[[沃尔夫数学奖]]得主）与[[圖蘭·帕爾]]共同提出的[[数论]][[猜想]]，稱[[倒數和發散]]的正整數集合中，必有任意長的[[等差数列]]。

== 猜想内容 ==
对[[正整数]]数列<math>\{1,2,3,\ldots,n,n+1,\ldots\}</math>的任意子序列<math>\{A_n\}</math>，若：

: 其所有元素的[[倒数]]和发散，即 <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{A_n} = \infty </math>

则：

: <math>\{A_n\}</math>含有任意长度的等差子序列。

== 发展 ==

1936年，埃尔德什与好友图兰提出了一个较弱的等差数列猜想，即：具有正[[自然密度|密度]]的[[自然数]][[子集]]含有无穷多长度为3的等差数列。<ref>{{citation|authorlink1=Paul Erdős|first1=Paul|last1=Erdős|authorlink2=:en:Pál Turán|first2=Paul|last2=Turán|title=On some sequences of integers|journal=Journal of the London Mathematical Society|volume=11|issue=4|year=1936|pages=261–264|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1936-05.pdf|doi=10.1112/jlms/s1-11.4.261|accessdate=2018-10-18|archive-date=2020-07-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20200723022712/https://www.renyi.hu/~p_erdos/1936-05.pdf|dead-url=no}}</ref>

1952年，[[克劳斯·罗特]]证明了这个较弱版的猜想。

1975年，[[塞迈雷迪·安德烈]]在[[克劳斯·罗特]]证明的基础上将这个较弱版本的猜想推广为[[塞迈雷迪定理]]。

1976年，埃尔德什在一次纪念好友图兰的演讲中提出了埃尔德什等差数列猜想，并悬赏5000美元给第一个证明此猜想的人。<ref>''Problems in number theory and Combinatorics'', in Proceedings of the Sixth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1976), ''Congress. Numer.'' XVIII, 35–58, Utilitas Math., Winnipeg, Man., 1977</ref>

2004年，本猜想的弱化版本，也是前述塞迈雷迪定理的推广，[[格林-陶定理]]被{{link-en|本·格林|Ben_Green_(mathematician)}}和[[陶哲轩]]证明。<ref>{{citation|doi=10.4007/annals.2008.167.481|first1=Ben|last1=Green|author1-link=:en:Ben_Green_(mathematician)|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=陶哲轩|arxiv=math.NT/0404188 |title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[数学年刊|Annals of Mathematics]]|volume=167|year=2008|issue=2|pages=481–547}}.</ref>

== 延伸阅读 ==
*P. Erdős: [http://www.renyi.hu/~p_erdos/1973-24.pdf Résultats et problèmes en théorie de nombres] {{Wayback|url=http://www.renyi.hu/~p_erdos/1973-24.pdf |date=20160428182731 }}, ''Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres'', Fasc 2., Exp. No. 24, pp.&nbsp;7, 
*P. Erdős and P.Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
*P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., ''Congress Numer.'' '''XVIII'''(1977), 35&ndash;58.
*P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, ''Combinatorica'', '''1'''(1981), 28. {{doi|10.1007/BF02579174}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:猜想]]
[[Category:数论]]